Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.3. Параллельность плоскостей

Определение

Две плоскости, не имеющие общей точки, называются параллельными.

Из определения следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

Теорема 1 (признак параллельности плоскостей)

Если две пересекающиеся прямые ($m$ и $n$) одной плоскости $\alpha$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($m'$ и $n'$) другой плоскости $\beta$, то эти плоскости параллельны.

Дано: $m$ $\subset$ $\alpha$ и $n$ $\subset$ $\alpha$; $m'$ $\subset$ $\beta$ $n'$ $\subset$ $\beta$; $m$ $\parallel$ $m'$ и $n$ $\parallel$ $n'$. Требуется доказать: $\alpha$ $\parallel$ $\beta$.

Доказательство:

$m$ $\parallel$ $\beta$ и $n$ $\parallel$ $\beta$(по признаку параллельности прямой и плоскости). Допустим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $p$. Тогда $m$ $\parallel$ $p$ и $n$ $\parallel$ $p$, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Итак, данные плоскости не пересекаются, т.е. $\alpha$ $\parallel$ $\beta$.

Теорема 2

Две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.

Теорема 3

Отрезки параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями, равны.

Теорема 4

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.