Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.4. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол двух скрещивающихся прямых

Определение 1

Углом двух скрещивающихся прямых ($m$ и $n$) называется угол $\varphi$ $(0$, который образуют лучи ($m'$ и $n'$), имеющие общее начало и параллельные данным прямым.

Вершину этого угла можно взять произвольно в пространстве, в том числе и на одной из данных скрещивающихся прямых ($O_1$ или $O_2$, см.рис). Если угол $\varphi$ прямой, то скрещивающиеся прямые называются взаимно перпендикулярными.

Определение 2

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В этом случае говорят, что и плоскость перпендикулярна прямой.

Теорема 1 (признак перпендикулярности прямой к плоскости)

Если прямая ($l$) перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ($m$ и $n$), лежащим в плоскости ($\alpha$), то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, и к самой плоскости.

Дано: $m\subset\alpha$ и $n\subset\alpha$; $m$ непараллельно $n$; $l\perp{m}$; $l\perp{n}$; $p\subset\alpha$ (см.рис.). Требуется доказать: $l\perp{p}$, $l\perp\alpha$.

Доказательство:

Точка $L'\in{l}$ и $L'\in\alpha$. Проводим через $L'$ прямые: $m'\parallel{m}$, $n'\parallel{n}$, $p'\parallel{p}$. Так как $l\perp{m}$, то $l\perp{m'}$ (по определению 1), также $l\perp{n'}$. Проведем прямую $r\subset\alpha$ и пересекающую прямые $m'$, $n'$, $p'$ в точках $A$, $B$, $C$. На прямой $l$ отложим $L'L=L'L_1$. Соединим точки $L$ и $L_1$ с точками $A$, $B$, $C$. $\triangle{LL'A}=\bigtriangleup{L_1L'A}$ (по двум катетам), поэтому $AL=AL_1$; $\bigtriangleup{LL'B}=\bigtriangleup{L_1L'B}$, откуда $BL=BL_1$; $\bigtriangleup{LAB}=\bigtriangleup{L_1AB}$, следовательно, $\angle{LAB}=\angle{L_1AB}$; $\bigtriangleup{LAC}=\bigtriangleup{L_1AC}$, откуда $LC=L_1C$, $\bigtriangleup{LL'C}=\bigtriangleup{L_1L'C}$, поэтому $\angle{LL'C}=\angle{L_1L'C}=90^{\circ}$. Итак, $l\perp{p'}$, $l\perp{p}$ и по определению 2 $l\perp\alpha$.

Теорема 2

Через данную точку можно провести только одну плоскость, перпендикулярную к данной прямой.

Теорема 3

Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.