Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.6. Теоремы о трех перпендикулярах

Теорема 1

Прямая ($m$), лежащая в плоскости ($\alpha$) и перпендикулярная к проекции ($l_1$) наклонной ($l$), перпендикулярна и к самой наклонной ($l$).

Дано: $l_1$ — проекция $l$. ${l_1} \subset\alpha$, $m\subset\alpha$, $m\perp{l_1}$. Требуется доказать: $m\perp{l}$.

Доказательство:

Через наклонную $l$ и ее проекцию $l_1$ проведем плоскость $\beta$, $n\perp{\alpha}$. Перпендикуляр $n\subset\beta$. Так как $n\perp{\alpha}$, то $n\perp{\beta}$. Но по условию еще $m\perp{l_1}$, поэтому $m\perp{\beta}$. Отсюда $m\perp{l}$.

Теорема доказана $\boxtimes$.

Теорема 2(обратная)

Прямая ($l$), лежащая в плоскости ($\alpha$) и перпендикулярная к наклонной ($l$), перпендикулярна к ее проекции ($l_1$).

Доказывается аналогично.