Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.7. Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей

Теорема 1

Если плоскость ($\alpha$) перпендикулярна к одной из параллельных прямых ($AB$ и $CD$), то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство:

При доказательстве используется равенство углов с соответственно параллельными и одинаково направлен­ными сторонами: $\angle ABE = \angle CDG$ и $\angle ABF = \angle CDH$. $\boxtimes$.

Теорема 2(обратная)

Если две прямые ($AB$ и $CD$) перпендикулярны к одной и той же плоскости ($\beta$), то они параллельны.

Доказательство:

Доказывается методом от противного. $\boxtimes$

Теорема 3

Если прямая ($BB_1$) перпенди­кулярна к одной из параллельных плоскостей ($\alpha$), то она перпендикулярна и к другой ($\beta$).

Доказательство:

Для доказательства проведем через $BB_1$ две какие-нибудь плоскости и т. д. $\boxtimes$.

Теорема 4(обратная)

Если две плоскости ($\gamma$ и $\delta$) перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.

Доказательство:

Доказывается методом от противного: допустим, что $\gamma$ и $\delta$ пересекутся и через точку ($C$) на линии пересечения и $AB$ проведем вспомогательную плоскость. Тогда $CA\bot AB$ и $CB\bot AB$, что невозможно. $\boxtimes$

Теорема 5

Через точку, лежащую вне плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Следствие

Две плоскости ($\alpha$ и $\beta$), параллельные третьей плоскости $\gamma$, параллельны между собой.

Доказательство:

Если бы $\alpha$ и $\beta$ были не параллельны между собой, то они имели бы общую точку, что противоречит теореме 5. $\boxtimes$