Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.9. Перпендикулярность плоскостей

Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол прямой. Прямой двугранный угол равен смежному с ним двугранному углу.

Определение

Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей)

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:

Знак \cap читается «общая часть». m \cap \beta означает: «общая часть прямой m и плоскости \beta». Знак \equiv читается «совпадает», «есть». m \cap \beta \equiv A означает: «общая часть прямой m и плоскости \beta есть точка A », или «прямая m пересекает плоскость \beta в точке A».

m\cap\beta\equiv A и A \subset n, где n\equiv\alpha\cap\beta . Через точку A проведем l \perp n, где l \subset \beta. \angle mAl есть линейный угол двугранного угла \alpha n \beta. Так как m \perp \beta, то m \perp l; \angle mAl = 90^{\circ}, т.е. \alpha \perp \beta.

Теорема доказана.

Теорема 2

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно к линии пересечения плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.

Следствие 1

Если из точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проведен перпендикуляр к другой плоскости, то он принадлежит первой плоскости.

Следствие 2

Если две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения есть перпендикуляр к этой плоскости.

Точка S называется вершиной, лучи — ребрами, углы — гранями многогранного угла. При каждом ребре две грани образуют двугранный угол.