Стереометрия

Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве

9.10. Многогранные углы

Определение

Многогранным углом называется фигура, образованная из n (n\geq 3) плоских углов с общей вершиной S так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону (луч). Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Точка S называется вершиной, лучи — ребрами, углы — гранями многогранного угла. При каждом ребре две грани образуют двугранный угол.

Многогранный угол, имеющий только три грани, называется трехгранным углом.

Теорема 1

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов: \angle ASC\lt \angle ASB + \angle BSC.

Следствие 1

В трехгранном угле каждый плоский угол больше абсолютной величины разности двух других углов: \angle BSC \gt|\angle ASC -\angle ASB |.

Проведем плоскость, пересекающую все ребра многогранного угла. Если в сечении получится выпуклый многоугольник ABCDE, то многогранный угол SABCDE называется выпуклым.

Теорема 2

В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 360^\circ: \angle ASB + \angle BSC + \angle CSD + ... + \angle ESA \lt 360^\circ.