Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.1. Многогранник. Призма. Параллелепипед

Определение 1

Геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником, а многоугольники — его гранями и их общие стороны — ребрами.

Вершины многогранных углов, образованных гранями многогранника, называются вершинами многогранника. Отрезок прямой, соединяющий две вершины многогранника, не лежащие на одной грани, называется диагональю многогранника. Многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости каждой из его граней, называется выпуклым. Будем рассматривать только выпуклые многогранники.

Если из всех вершин какого-нибудь многоугольника ABCDE провести параллельные вне плоскости расположения многоугольника и пересечь их плоскостью \alpha, параллельной плоскости многоугольника, то получим в плоскости \alpha вершины многоугольника A_1B_1C_1D_1E_1, равного ABCDE, и их соответствующие стороны будут равны и параллельны, так как AA_1B_1B, BB_1C_1C, CC_1D_1D и т.д. — параллелограммы.

Определение 2

Многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные n граней — параллелограммы, называется призмой.

ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1 — призма; ABCDE и AA_1B_1B, BB_1C_1C — ее основания; AA_1B_1B, BB_1C_1C, CC_1D_1D и т.д. — боковые грани; AA_1, BB_1, CC_1 и т.д. — боковые ребра, EC_1 — одна из диагоналей призмы.

Плоскость, проходящая через соответствующие (параллельные) диагонали оснований призмы, называется ее диагональной плоскостью (например, C_1CEE_1).

Отрезок перпендикуляра к основаниям, заключенный между ними, называется высотой призмы (HH_1).

Если боковые ребра наклонны к основаниям, то призма называется наклонной, а если перпендикулярны, то — прямой.

Определение 3

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники.

Определение 4

Параллелепипедом называют такую призму, у которой основаниями являются параллелограммы.

Все 6 граней параллелепипеда — параллелограммы.

Параллелепипеды бывают наклонные, прямые и прямоугольные.

Определение 5

Прямой параллелепипед, у которого основаниями служат прямоугольники, называется прямоугольным. Все его 6 граней — прямоугольники.