Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.2. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Теоремы 1-2

В параллелепипеде:
1) противолежащие грани равны и параллельны;
2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Доказательства:

1) Для любой пары противолежащих граней параллелепипеда имеем: соответствующие углы равны (например, \angle A_{1}AD=\angle B_{1}BC, \angle ADD_{1}=\angle BCC_{1} и т. д.); соответствующие стороны равны и параллельны (A_{1}A и B_{1}B, AD и BC и т. д. как противолежащие стороны параллелограммов). Отсюда A_{1}ADD_{1}=B_{1}BCC_{1} и их плоскости параллельны.
2) AB||DC и D_{1}C_{1}||DC, поэтому AB||D_{1}C_{1} . Через AB и D_{1}C_{1} проведем плоскость, тогда AD_{1}||BC_{1}. ABC_{1}D_{1} — параллелограмм. Его диагонали AC_{1} и BD_{1}, являющиеся диагоналями параллелепипеда, в точке пересечения делятся пополам. Теперь возьмем одну из этих диагоналей, например AC_{1} и третью диагональ параллелепипеда A_{1}C. Они являются диагоналями параллелограмма AA_{1}C_{1}C и поэтому A_{1}C проходит через середину AC_{1}, т. е. три диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Аналогично доказывается и для четвертой диагонали B_{1}D.

Теоремы доказаны.

Теорема 3

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (т. е. трех ребер, выходящих из одной вершины).

Учитель:

Докажите самостоятельно, применяя теорему Пифагора (в качестве модели используйте ниже приведенный рисунок).

Следствие

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.