Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.6. Поверхность призмы

Определение 1

Поверхностью многогранника называется сумма площадей его граней. Боковой поверхностью (точнее: площадью боковой поверхности) призмы (пирамиды или усеченной пирамиды) называется сумма площадей всех боковых ее граней.

Определение 2

Многоугольник, полученный пересечением призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам, называется перпендикулярным сечением призмы.

Следовательно, боковые ребра призмы перпендикулярны к ее перпендикулярному сечению (A_{0}B_{0}C_{0}D_{0}E_{0}) и к сторонам этого сечения.

Теорема

Боковая поверхность призмы (S_{ \delta .np}) равна произведению периметра (P) перпендикулярного сечения на боковое ребро (l).

Дано: ABCDEA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1} — призма, A_{0}B_{0}C_{0}D_{0}E_{0} — перпендикулярное сечение. Требуется доказать: S_{ \delta .np}=Pl.

Доказательство:

За основание параллелограмма (боковой грани) примем боковое ребро, равное l, тогда высотой параллелограмма является сторона перпендикулярного сечения (A_{0}B_{0} \perp AA_{1}, B_{0}C_{0} \perp BB_{1} и т.д.). S_{ \delta .np}= S_{AA_{1}B_{1}B}+ S_{BB_{1}C_{1}C}+...+S_{EE_{1}A_{1}A}= AA_{1} \cdot A_{0}B_{0}+BB_{1} \cdot B_{0}C_{0}+...+EE_{1} \cdot E_{0}A_{0}=(A_{0}B_{0}+B_{0}C_{0}+...+E_{0}A_{0})l=Pl.

Теорема доказана. \boxtimes

Следствие

Поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Так как параллелепипед является частным случаем призмы, то все свойства призм присущи параллелепипедам, в частности боковая поверхность параллелепипеда вычисляется по доказанной здесь теореме и следствию. Полная поверхность призмы S_{np}=S_{ \delta .np}+2Q, где Q — площадь основания.