Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.7. Поверхность пирамиды

Теорема

Боковая поверхность $S$_б.п. правильной пирамиды равна половине произведения ее апофемы $a$ на периметр $P$ основания.
Дано: $SADCDE$ — правильная пирамида, $SM=a$ — ее апофема.
Требуется доказать: $S$_б.п.$=\frac {1}{2}Pa$.

Доказательство:

Площадь боковой грани:
$S_{A B S}=\frac {1}{2} \cdot AB \cdot SM=\frac {1}{2} \cdot AB \cdot a$, где $SM\perp AB$.
Боковая поверхность правильной $n$-угольной пирамиды состоит из суммы $n$ таких площадей, как $S_{A B S}$:
$S=\frac {1}{2} \cdot AB \cdot a \cdot n=\frac {1}{2} ( AB \cdot n )a=\frac {1}{2}Pa$.
Если пирамида не является правильной, то вычисляют отдельно площадь каждой грани, а затем эти площади складывают.
Полная поверхность пирамиды $S$_п$=S$_б.п.$+Q$, где $Q$ — площадь основания. Полная поверхность правильной пирамиды $S=\frac {1}{2}Pa+\frac {1}{2}Pr=\frac {1}{2}P ( a+r )$, где $a$ и $r$ — апофемы соответственно правильной пирамиды и правильного многоугольника в ее основании.$\boxtimes$