Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.8. Поверхность усеченной пирамиды

Теорема

Боковая поверхность $S$_б.п. правильной усеченной пирамиды равна произведению ее апофемы $a$ на полусумму периметров $P$ и $P^\prime$ оснований.

Дано: $A_1B_1C_1D_1E_1ABCDE$ — правильная усеченная пирамида, $M_1M$ ее апофема, $P$ и $P^\prime$ — периметры оснований.

Требуется доказать: $S$_б.п.$=\frac{P+P^\prime}{2}a$.

Доказательство:

Площадь боковой грани $S_{A A_1 B B_1}=\frac{AB+A_1B_1}{2}M_1M$,
где $M_1M \perp AB$. Боковая поверхность состоит из $n$ таких площадей, поэтому
$S$_б.п.$=\frac{AB+A_1B_1}{2}a \cdot n=\frac{ABn+A_1B_1n}{2}a=\frac{P+P^\prime}{2}a$.
Если усеченная пирамида не является правильной, то вычислим площади всех граней отдельно и сложим.
Полная поверхность усеченной пирамиды:
$S$_п$=S$_б.п.$+Q+Q^\prime$, где $Q$ и $Q^\prime$ — площади оснований.$\boxtimes$