Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.9. Поверхность цилиндра

В цилиндр можно вписать правильную призму так, чтобы основания призмы были вписаны в снования цилиндра и ее боковые ребра лежали на цилиндрической поверхности.

С кривой поверхностью (цилиндрической или конической) невозможно совместить единицы площади — квадраты, поэтому понятие площади боковой поверхности тел вращения можно дать только с помощью предела.

Определение

Боковой поверхностью (S_{b.c}) цилиндра называется предел, к которому стремится боковая поверхность (S_n) вписанной в цилиндр правильной n-угольной призмы при бесконечном удвоении числа сторон ее основания.

Предел последовательности (S_n) при n\to\infty существует, так как последовательность S_n — бесконечная возрастающая и ограниченная сверху (например, боковой поверхностью правильной n-угольной описанной призмы).

Теорема

Боковая поверхность (S_{b.c}) цилиндра равна длине окружности (C) основания, умноженной на высоту (H).

Доказательство:

Боковая поверхность правильной вписанной в цилиндр n-угольной призмы S_n=P_n H. Перейдем к пределу в обеих частях равенства:

\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}P_n H; но высота H при n\to\infty остается постоянной, поэтому \lim_{n\to\infty}S_n=H \lim_{n\to\infty}P_n; \lim_{n\to\infty}P_n=C — длине окружности основания цилиндра. \lim_{n\to\infty}S_n=S_{b.c} (см. определение).

Получим:

S_{b.c}=CH или S_{b.c}=2 \pi R H.


Полная поверхность цилиндра S_c=2 \pi R H+2 \pi R^2=2 \pi R(H+R).