Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.10. Поверхность конуса

Когда говорят о вписанной в конус правильной пирамиде, то имеют в виду, что вершины этих тел совпадают и правильный многоугольник (основание пирамиды) вписан в основание конуса.

Определение

Боковой поверхностью ($S_k$) конуса называется предел, к которому стремится боковая поверхность ($S_n$) вписанной в конус правильной $n$-угольной пирамиды при бесконечном удвоении числа сторон ее основания.

Такой предел существует.

Теорема

Боковая поверхность ($S_k$) конуса равна произведению половины длины окружности ($\pi R$) на образующую ($l$).

Доказательство:

Пусть $SABCDEF$ — правильная пирамида, вписанная в конус, и $SK$ — ее апофема ($SK{\bot}AB$). Тогда ее боковая поверхность $S_n = \frac{1}{2}P_n{\cdot}SK$ . Перейдем к пределу:

$\lim_{n\to\infty}{S_n} = \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}{(P_n){\cdot}SK}$

$\lim_{n\to\infty}{S_n} = \frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}{P_n}{\cdot}\lim_{n\to\infty}{SK}$.

10_1

Из треугольника $ASK$ имеем: $AS - SK < AK$. При ${n\to\infty}$ ${AK\to 0}$, поэтому и ${AS - SK\to 0}$, где $AS$ — постоянная величина и ${SK\to AS}$. $\lim_{n\to\infty}{SK}=AS=l$. $\lim_{n\to\infty}{P_n}=C=2\pi R$. $\lim_{n\to\infty}{S_n} = S_k$ (по определению). Получаем:

$S_k = \pi R l$.

$\boxtimes$ Теорема доказана.

Следствие

Полная поверхность конуса

$S_f = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$.