Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

10.11. Поверхность усеченного конуса

Многоугольники оснований правильной усеченной пирамиды, вписанной в усеченный конус, вписаны в основания усеченного конуса.


Определение

Боковой поверхностью усеченного конуса ( S_{b.y.k} ) называется предел, к которому стремится боковая поверхность ( S_n ) правильной вписанной в усеченный конус усеченной n-угольной пирамиды при бесконечном удвоении числа сторон ее основания. Такой предел существует.

Теорема

Боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей (C и C') оснований на образующую .

Доказательство:

Боковая поверхность правильной усеченной n-угольной пирамиды
S_n = \frac{P_n - P_n' }{2}a_n.
Проведя апофему D_1K = GB = a_n из вершины меньшего основания на сторону большего основания усеченной пирамиды, можно показать что
{a_n\to \ l} при {n\to\infty} (l=D_1D).
Перейдя к пределам, получим:
\lim_{n\to\infty} S_n= \frac{1}{2}(\lim_{n\to\infty}P_n + \lim_{n\to\infty}P_n')\lim_{n\to\infty}a_n , откуда S = \frac{1}{2}(C+C') l = \frac{1}{2}(2\pi R + 2\pi R')l , S = \pi (R + R')l.
Полная поверхность усеченного конуса
S_{y.k} = \pi(R + R')l + \pi R^2 + \pi(R')^2 .

Теорема доказана.

\boxtimes