Стереометрия

Глава 10. Многогранники и тела вращения

Задача

Основаниями правильной 6-угольной призмы, высота которой H, служат многоугольники ABCDEF и A_1B_1C_1D_1E_1F_1 со стороной a. Найти расстояние от вершины A до плоскости, проведенной через A_1B_1 и ED.

Решение:

Пусть ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 — правильная призма, AA_1=H и AB=a. Согласно условию, через A_1B_1 и DE проходит плоскость A_1B_1DE. Искомое расстояние от точки A до плоскости A_1B_1DE измеряется по перпендикуляру.
По определению призмы A_1A\parallel F_1F и E_1E\parallel F_1F, поэтому A_1A\parallel E_1E и можно провести плоскость AA_1E_1E , которая пересекает плоскость A_1B_1DE по прямой A_1E. \angle{AED}=90^\circ, как вписанный в описанную около правильного 6-угольника окружность и опирающийся на диаметр. \angle{DEE_1}=90^\circ, так как призма правильная, а поэтому и прямая.
DE\bot AA_1E_1E по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Через DE проходит плоскость A_1B_1DE, поэтому A_1B_1DE\bot AA_1E_1E (по признаку перпендикулярности плоскостей). Проведем AK\bot A_1E, тогда AK\bot A_1B_1DE. Отрезок AK — искомый.

Поскольку A_1A\bot ABCDEF, то A_1A\bot AE и AK есть высота, опущенная на гипотенузу A_1E. Катет AA_1=H. Другой катет AE является стороной правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса OA=AB=a, а поэтому AE=a\sqrt{3}. Площадь S_{AA_1E}=0,5AA_1\cdot AE=0,5HA\sqrt{3}. Но S_{AA_1E}=0,5A_1E\cdot AK; 0,5A_1E\cdot AK=0,5Ha\sqrt{3}; AK=\frac{Ha\sqrt{3}}{A_1E}; A_1E=sqrt{AA_1^2+AE^2}=sqrt{H^2+3a^2}.

Ответ:

\frac{Ha \sqrt{3}}{\sqrt{H^2+3a^2}} Задача всегда имеет решение, причем единственное, так как длины отрезков a>0 и H>0, H^2+3a^2>0 (значения корней арифметические).

Примечание:
Решения упражнений в части третьей даны в сокращенном виде, но читатель должен получить их в разверйутом виде с полным обоснованием по образцу решения этой задачи и других. Ссылаясь на определение, теорему, аксиому или следствие при обосновании решения, читатель должен указать сокращенное название этого математического предложения, а если такого названия дать нельзя, то привести полную формулировку.
Обратите внимание на то, что искомый перпендикуляр из точки A на плоскость A_1B_1DE мы провели на чертеже лишь после того, как доказали, где должно находиться основание K перпендикуляра на этой плоскости (на прямой A_1E). Без такого исследования пространственной фигуры и обоснования ее решения можно допустить грубую ошибку, да и само решение не может считаться полным. Если в ответ входят буквенные данные (называемые параметрами), то его нужно кратко исследовать (при каких значениях букв решение возможно, сколько решений).