Теоретические материалы: Измерение объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда

Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.1. Измерение объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда

Каждое геометрическое тело занимает определенную часть пространства, ограниченную со всех сторон поверхностью этого тела. Можно сказать, что части пространства, занимаемые призмой и пирамидой с соответственно равными основаниями и высотами, неравны и первая из них больше второй. В таком случае говорят, что объем призмы больше объема пирамиды. Следовательно, объем тела — это величина (занимаемой телом части пространства), и его можно измерять путем сравнения с другим объемом, принятым за единицу. Объем куба, ребро которого равно линейной единице, принимается за единицу объема. Это кубический метр (м³), кубический дециметр (дм³) и т. д. В результате измерения объемов будем получать числа, которые должны удовлетворять следующим условиям: 1) равным телам соответствуют равные числа; 2) если тело разбито на части, то число, соответствующее телу, равно сумме чисел, соответствующих его частям.

Определение.

Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.

Теорема

Объем ( $V_{nap}$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений $(a,b,c)$ , взятых в одних и тех же единицах: $V_{nap}=abc$ .

Доказательство:

В случае, когда измерения — целые числа, в один слой на основании ляжет $ab$ кубических единиц (cм³ ), а всего таких слоев будет $c$ и объем равен $V$ куб. ед. (4-3-5 cм³). Если измерения, полученные с помощью некоторой линейной единицы, окажутся дробными: $\frac{m}{n}$ , $\frac{p}{q}$ , $\frac{r}{s}$ , то приведем к общему знаменателю $\frac{mqs}{nqs}$ , $\frac{pns}{nqs}$ , $\frac{rnq}{nqs}$ . Если за новую линейную единицу принять $\frac{1}{nqs}$ долю прежней линейной единицы, то измерения окажутся целыми числами: $mqs, pns, rnq$ и тогда объем равен $mqs\cdot pns\cdot rnq$ новых кубических единиц. Разделим это значение объема на $(nqs)^3$ (столько новых кубических единиц содержится в одной прежней кубической единице) и получим, что искомый объем $V_{nap}=\frac{mqs\cdot pns\cdot rnq}{nqs^3}=$ $\frac{mqs}{nqs}\cdot\frac{pns}{nqs}\cdot\frac{rnq}{nqs}=$ $\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}$ .

Теорема доказана.

Теорема доказана для случая, когда измерения прямоугольного параллелепипеда есть числа рациональные. В случае иррациональных измерений теорема также верна, но здесь это не доказывается.

Следствие.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания ( $ab$ ) на высоту параллелепипеда ( $c$ ).