Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.2. Объем прямого и наклонного параллелепипедов

Лемма

Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота — ее боковому ребру .

Лемма применима к параллелепипедам — частному случаю призм.

Теорема

Объем параллелепипеда $V_{nap}$ равен произведению площади основания $Q$ на высоту $H$.

Доказательство:

Для прямоугольного параллелепипеда теорема уже доказана (см. п. 1). Докажем ее для прямого и наклонного параллелепипедов.
1) Пусть дан прямой параллелепипед. Если за основание принять прямоугольник $A A_1 B_1B$, то параллелограммы $ABCD$ и $A_1 B_1 C_1 D_1$ станут боковыми гранями и получим наклонный параллелепипед. Проведем в нем перпендикулярное сечение $MNPQ$ и тогда он будет равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основанием служит $MNPQ$ и высотой — боковое ребро $BC$. $MNPQ$ — параллелограмм с прямыми углами (по признаку перпендикулярности плоскостей двугранные углы при основаниях исходного прямого параллелепипеда прямые). Следовательно, $MNPQ$ — прямоугольник, поэтому параллелепипед — прямоугольный и его объем равен $MN \cdot MQ \cdot BC$. Согласно лемме, такой же объем и первоначального параллелепипеда. Так как $MQ\perp BC$, то $MQ \cdot BC$ — площадь основания $ABCD$, а $MN$ — высота параллелепипеда ($MN\perp ABCD$). Итак, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту параллелепипеда.

2) Пусть дан наклонный параллелепипед, его перпендикулярное сечение $MNPQ$ — параллелограмм имеет площадь $MQ \cdot RS$ ($RS\perp MQ$). Согласно лемме, объем этого параллелепипеда равен $MQ \cdot RS \cdot BC$, т.е. объему прямого параллелепипеда с основанием $MNPQ$ и высотой $BC$ , для которого данная теорема уже доказана. Но $MQ \perp BC$ и $BC \cdot MQ$ есть площадь основания $ABCD$ исходного параллелепипеда. Докажем, что $RS \perp ABCD$, т.е.$RS$ — высота параллелепипеда. $BC \perp MN$ и $BC \perp MQ$, поэтому $BC \perp MNPQ$; $BCDA \perp MNPQ$, отсюда $RS \perp ABCD$.
Теорема полностью доказана.

w=710&h=510">4_1.