Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.3. Объем призмы

Теорема

Объем призмы (V_{np}) равен произведению площади основания (Q) на высоту (H) : V_{np} = Q H.

Доказательство:

1) Пусть дана треугольная призма ABCA_1B_1C_1, которую достроим до параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1. Докажем, что две треугольные призмы, данная и достроенная, равновелики. Перпендикулярное сечение A_0B_0C_0D_0 — параллелограмм, \Delta A_0B_0C_0= \Delta A_0C_0D_0, поэтому, согласно лемме, каждая из двух треугольных призм равновелика одной и той же призме с основанием A_0B_0C_0 (или A_0C_0D_0) и высотой AA_1. Следовательно, эти треугольные призмы равновелики и объем V данной призмы равен половине объема V' параллелепипеда с площадью основания S_{ABCD} и высотой H. Так как V' =S_{ABCD}H, площадь основания призмы S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} и высота H общая, то V_{np}= \frac{1}{2} V' = \frac{S_{ABCD} H }{2}= \frac {S_{ABCD}}{2} H = S_{ABC} H.

2) n-угoльную призму с площадью основания Q и высотой можно разбить на (n-2) треугольные призмы диагональными плоскостями, проходящими через одно и то же боковое ребро AA_1. Обозначим площади их оснований через q_1,\text{ }q_2,\text{ }q_3,\text{ }...\text{ },\text{ }q_{n-2}; высота каждой призмы H, тогда по доказанному объемы треугольных призм равны q_1 H,\text{ } q_2 H,\text{ }...\text{ },\text{ } q_{n-2} H. По условию 2 получим что объем многоугольной призмы V_{np} = q_1 H \text{ }+ \text{ }q_2 H \text{ }+ \text{ }q_3 H\text{ } +\text{ } ...\text{ } +\text{ } q_{n-2} H = (q_1 + q_2 + ... q_{n-2}) H= Q H .

Теорема доказана.