Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.4. Объем пирамиды

Лемма

Сумма квадратов натуральных чисел от 1 до n включительно равна \frac{n(n-1)(2n+1)}{6}.

Теорема

Объeм пирамиды V_n равен \frac{1}{3} произведения ее высоты H на площадь основания Q:

V_n=\frac{1}{3}QH.

Доказательство:

Пусть дана пирамида с любым основанием, площадь которого равна Q, и высота пирамиды H. Разделим высоту пирамиды на n равных частей и через эти точки деления проведем плоскости, параллельные основанию пирамиды. Если обозначим площади параллельных сечений через Q_1, Q_2, Q_3, ... , Q_n, то получим пропорции: \frac{Q_1}{Q}=\frac{1}{n^2}, \frac{Q_2}{Q}=\frac{2^2}{n^2}, \frac{Q_3}{Q}=\frac{3^2}{n^2}, ... , \frac{Q_{n-1}}{Q}=\frac{(n-1)^2}{n^2}, \frac{Q_n}{Q}=\frac{n^2}{n^2}, откуда Q_1=\frac{1}{n^2} Q, Q_2=\frac{2^2}{n^2}Q, Q_3=\frac{3^2}{n^2}Q, ... , Q_{n-1}=\frac{(n-1)^2}{n^2}Q, Q_n=\frac{n^2}{n^2}Q.

Между каждыми двумя соседними параллельными плоскостями заключим призму, вписанную в данную пирамиду, как показано на рисунке. Получится вписанное в пирамиду ступенчатое тело. На рисунке показано, как будут выглядеть вписанное и описанное ступенчатые тела для случая четырехугольной пирамиды. Из рисунка видно, что объем пирамиды заключен между объемами вписанного и описанного около нее ступенчатых тел, составленных из призм.

При неограниченном увеличении числа n высота каждой призмы \frac{H}{n} будет бесконечно уменьшаться, а число самих призм в ступенчатом теле бесконечно увеличиваться, в результате чего, как легко представить наглядно, объемы вписанного и описанного тел будут неограниченно сближаться, стремясь к их общему пределу. Этот предел естественно принять за объем пирамиды. Найдем его.

Возьмем, например, объем описанного ступенчатого тела, представляющий сумму объемов n призм:

V_{n}=Q_{1}\frac{H}{n}+Q_{2}\frac{H}{n}+Q_{3}\frac{H}{n} +...+Q_{n-1}\frac{H}{n}Q_{n}\frac{H}{n}=\frac{H}{n} (Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+...+Q_{n-1}+Q_{n})= =\frac{H}{n}[\frac{1}{n^2}Q+\frac{2^2}{n^2}Q+\frac{3^2}{n^2}Q+...+\frac{{(n-1)}^2}{n^2}Q+\frac{n^2}{n^2}Q]=\frac{QH}{n^3}Q[1+2^2+3^2+...+ {(n-1)}^2+n^2].

Применив лемму, получим:

V_{n}=\frac{QH}{n^3}\frac{n(n-1)(2n+1)}{6}= \frac{QH}{6}\frac{n(n-1)(2n+1)}{n^3}

Бесконечно увеличивая n(число призм), перейдем к пределу в обеих частях равенства:

\ds{\lim_{n\to\infty}}V_{n}=\ds{\lim_{n\to\infty}} [\frac{QH}{6}\frac{n(n-1)(2n+1)}{n^3}]= \frac{QH}{6}\ds{\lim_{n\to\infty}}[\frac{n(n-1)(2n+1)}{n^3}]

(при n\to\infty Q и H постоянны). Отдельно вычислим предел дроби:

\ds{\lim_{n\to\infty}} (\frac{n(n-1)(2n+1)}{n^3})=\ds{\lim_{n\to\infty}} (\frac{n}{n} \frac{n+1}{n} \frac{2n+1}{n}) =\ds{\lim_{n\to\infty}}(1+\frac{1}{n}) \ds{\lim_{n\to\infty}}(2+\frac{1}{n})=
=(\ds{\lim_{n\to\infty}}1+\ds{\lim_{n\to\infty}}\frac{1}{n}) (\ds{\lim_{n\to\infty}}2+\ds{\lim_{n\to\infty}}\frac{1}{n})= (1+0)(2+0)=1 \cdot 2=2

Учитывая, что \ds{\lim_{n\to\infty}}V_{n} есть объем пирамиды V_{n}, получим:

\ds{\lim_{n\to\infty}}V_{n}=\frac{QH}{6} \cdot 2; V_{n}=\frac{1}{3}QH.