Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.5. Объем усеченной пирамиды

Теорема

Объем $V_{yn}$ усеченной пирамиды с основаниями $Q$ и $q$ и высотой $H$ равен сумме объемов трех пирамид с той же высотой $H$ и с площадями оснований $Q$, $q$ и $\sqrt{Qq}$: $V_{yn}=\frac{1}{3} H(Q+q+\sqrt{Qq})$.

Доказательство:

Продолжения боковых ребер усеченной пирамиды пересекутся в точке $S$. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов пирамид $SABCDE$ (высота ее $H+x$ и площадь основания $Q$) и $SA_1B_1C_1D_1E_1$ (высота ее $x$ и площадь основания $Q$): $V_{yn}=\frac{1}{3} [(H+x)Q -q x]= \frac{1}{3}[QH+(Q-q)x]$.

Выразим $x$ через известные величины $H$, $Q$ и $q$. Имеем:

$\frac{Q}{q}=\frac{(H+x)^2}{x^2}$; $\frac{\sqrt Q}{\sqrt q}=\frac{H+x}{x}$, $x=\frac{H \sqrt q}{\sqrt Q-\sqrt q}$.

Подставим эту дробь вместо $x$, заменим $Q-q$ через $(\sqrt Q-\sqrt q)(\sqrt Q+\sqrt q)$ и сократим дробь:

$V_{yn}= \frac{1}{3}[Q H+\frac{(Q-q)H\sqrt q}{\sqrt Q-\sqrt q}]=$ $\frac{1}{3}[Q H+\frac{(\sqrt Q-\sqrt q)(\sqrt Q+\sqrt q)H\sqrt q}{\sqrt Q-\sqrt q}]=$ $\frac{1}{3}[Q H+(\sqrt Q+\sqrt q)H\sqrt q]=$ $\frac{1}{3}(Q H+H\sqrt {q Q}+q H)= \frac{1}{3}H( Q+q +\sqrt {Qq})$.