Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.6. Объем цилиндра

Определение

Объемом цилиндра называется предел, к которому стремится объем вписанной в цилиндр правильной призмы при бесконечном удвоении числа сторон ее оснований .

Теорема

Объем цилиндра $V_c$ равен произведению площади основания $\pi R^2\$ на высоту $H$: $V_c=\pi R^2 H$.

Доказательство:

Объем вписанной в цилиндр $n$-угольной правильной призмы $V_n=Q_n H$ , где $Q_n$ — площадь многоугольника (основания призмы), вписанного в основание цилиндра, а $H$ — общая высота призмы и цилиндра, остающаяся неизменной при $n\to\infty$. $\ds{\lim_{n\to\infty}}V_n=\ds{\lim_{n\to\infty}}Q_n H=H \ds{\lim_{n\to\infty}}Q_n$. Так как $\ds{\lim_{n\to\infty}}V_n=V_c$ (по определению) и $\ds{\lim_{n\to\infty}}Q_n= \pi R^2$ , то получим: $V_c= \pi R^2 H$.