Стереометрия

Глава 11. Объемы многогранников и тел вращения

11.8. Объем усеченного конуса

Определение

Объемом усеченного конуса называется предел, к которому стремится объем правильной усеченной пирамиды, вписанной в усеченный конус, при бесконечном удвоении числа сторон оснований.

Теорема 1.

Объем V_{y.\kappa} усеченного, конуса с основаниями, равными \pi R^2 и \pi r^2, и высотой H, равен сумме объемов трех конусов с той же высотой H и с площадями оснований \pi R^2, \pi r^2 и \pi Rr:

V_{y.\kappa}=\frac{1}{3}\pi H(R^2+r^2+Rr).

Доказательство:

Объем вписанной в усеченный конус правильной усеченной пирамиды

V_n=\frac{1}{3}H(Q_n+q_n+\sqrt{Q_n q_n}), где Q_n и q_n — площади оснований усеченной пирамиды, вписанных в основания усеченного конуса и H — общая высота этих тел, остающаяся неизменной при n\to\infty .

\ds{\lim_{n\to\infty}}V_n=\ds{\lim_{n\to\infty}}[\frac{1}{3} H(Q_n+q_n+\sqrt{Q_n q_n})]=\frac{1}{3} H\ds{\lim_{n\to\infty}}(Q_n+q_n+\sqrt{Q_n q_n}).


При переходе к пределу получим

Q_n\to\pi R^2, q_n\to\pi r^2, \sqrt{Q_n q_n}\to\pi Rr.


Но по определению \ds{\lim_{n\to\infty}}V_n равен объему (V_{y.\kappa}), усеченного конуса.


V_{y.\kappa}=\frac{1}{3}\pi H(R^2+r^2+Rr).


Эту формулу можно было бы вывести по-другому — аналогично способу доказательства теоремы об объеме усеченной пирамиды.

 Теорема доказана.