Планиметрия

1. Введение

1.3. Углы. Биссектриса. Перпендикуляр

Определение

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки, вместе с частью плоскости, ограниченной этими лучами. Эта точка называется вершиной угла, лучи — его сторонами, а часть плоскости — внутренней областью угла.

Определение

Углы, которые могут быть наложены один на другой так, что они совпадут, называются равными.

Если при совмещении вершин двух углов один из них можно поместить во внутренней области другого, то первый угол меньше второго, а второй больше первого.

При вращении одной из сторон угла вокруг вершины величина угла изменяется.

Определение

Если обе стороны угла располагаются на одной прямой по разные стороны от вершины, угол называется развернутым.

Если увеличивать такой угол путем вращения одной стороны до совпадения ее с другой стороной этого угла, то получим полный угол.

Определение

Угол, равный половине развернутого, называется прямым углом — 90^\circ. Развернутый угол равен 180^\circ.

Определение

Каждая из сторон прямого угла называется перпендикуляром к другой стороне этого угла. Стороны прямого угла взаимно перпендикулярны.

Определение

Угол, больший 90^\circ, но меньший 180^\circ, называется тупым углом.

Определение

Луч, делящий угол пополам, называется биссектрисой угла.

Чтобы сложить два угла, достаточно приложить их друг к другу так, чтобы две их стороны полностью совпали. \angle{1}+\angle{2}=\angle{AOC}; \angle{1}+\angle{2}+\angle{3}=\angle{AOD}.

Чтобы из большего угла вычесть меньший, достаточно наложить эти углы так, чтобы две их стороны полностью совместились; угол, образованный двумя другими сторонами данных углов, есть разность этих углов. \angle{AOD}-\angle{3}=\angle{AOC}.

Умножение и деление угла на натуральное число устанавливается аналогично этим операциям над отрезками.

Определение

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют одну прямую, называются смежными.

OB — общая сторона, OA и OC составляют одну прямую, \angle{1} и \angle{2} — смежные.

Из определения следует, что сумма смежных углов есть развернутый угол, т. е. сумма смежных углов равна 180^\circ.

Определение

Два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными.

Два вертикальных угла равны между собой \angle{1}=\angle{3} (для доказательства использовать угол \angle{2}, смежный с каждым из вертикальных углов).