Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§1. Координаты точки на прямой

2. Абсолютная величина числа.

Упражнение 8

Какие значения может принимать выражение $\frac{|x|}{x}$ ?

Упражнение 9

Как записать без знака модуля выражения

а) $|a^2|$;

б) $|a-b|$, если $a\gt b$;

в) $|a-b|$, если $a \lt b$;

г) $|-a|$, если $a$ — отрицательное число?

Упражнение 10

Известно, что $|x-3| = x-3$. Каким может быть $x$?

Упражнение 11

Где на числовой оси лежат точки $x$ , для которых:

а) $|x| = 2$;

б) $|x| \gt 3$;

в) $x \leq 5$;

г) $3 \lt |x| \lt 5$;

д) укажите, где лежат точки, для которых $|x - 2| = 2 - x$.

Решение:
б) Если $x$ — положительное число, то $|x|=x$, следовательно, $x \gt 3$; если $x$ — отрицательное число, то $|x|= -x$; тогда из неравенства $-x \gt 3$ следует, что $x \lt -3$.

Ответ:

Все точки, расположенные левее точки с координатой ($-3$), и все точки, расположенные правее точки с координатой ($3$). Ответ можно получить быстрее, если учесть, что модуль числа — это расстояние точки от начала координат. Тогда ясно, что искомые точки расположены от начала координат на расстоянии большем, чем $3$. Ответ получаем из рисунка

Упражнение 12 а)

Разберем подробно решение следующего уравнения:

Решение:
Так как $|a|= a$, при $a \geq 0$ и $|a| = -a$ при $a \lt 0$, то выражения $|x + 1|$ и $|x + 2|$ "раскрываются" по-разному, в зависимости от того, какой знак имеют выражения, стоящие под знаком модуля. Разобьем поэтому все множество значений $x$ на три участка, границами которых являются точки, где обращается в нуль одно из выражений под знаком модуля:

1) $x \geq -1$;

2) $-2 \lt x \lt -1$;

3) $x \leq -2$ .

Рассмотрим каждый участок отдельно.

1) $x \geq -1$. Для этих значений $x$ имеем:

$x + 1 \geq 0$, $x + 2 \gt 0$.

Следовательно, $|x + 1| = x+1$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение (1) имеет вид:

$2x+3 = 2$.

Корень этого уравнения $- \frac{1}{2}$ удовлетворяет нашему условию $x \geq -1$.

2) При $-2 \lt x \lt -1$ уравнение приобретает вид $1 = 2$ (Проверьте!). Это означает, что никакое число, заключенное между $-2$ и $-1$, не удовлетворяет уравнению (1) .

3) Случай $x \leq -2$ рассмотрите самостоятельно.

Ответ:

Уравнение (1) имеет два корня: $- \frac{1}{2}$ и $- \frac{5}{2}$.

Упражнение 12 б)

Решим еще следующее уравнение:

Решение:
Ясно, что числовую ось придется разбить на те же три участка:

(а) $x \geq -1$;

(б) $-2 \lt x \lt -1$;

(в) $x \leq -2$.

Для первого участка уравнение (2) приобретает вид $2x+3=1$ (Объясните почему!). Это уравнение имеет корень $x = -1$, удовлетворяющий условию (a). Значит, на первом участке имеется одна точка, удовлетворяющая условию (2), — конец этого участка.

На втором участке (условие б) $|x + 1| = -x-1$, $|x + 2|= x+2$ и уравнение (2) имеет вид :

$-x-1+x+2=1$ или $1=1$ т.е. удовлетворяется тождественно. Значит, любое число из промежутка $-2 \lt x \lt -1$ является корнем уравнения (2). (Проверьте это, подставив какое-нибудь конкретное число, например $-1.5$ или $-1.9$, в уравнение (2)).

Для третьего участка (условие в) уравнение (2) превращается в $-2x-3=1$, откуда $x=-2$. Следовательно, конец третьего участка тоже является корнем уравнения (2).

Ответ:

Уравнение имеет бесконечно много решений: совокупность всех решений заполняет отрезок $-2 \leq x \leq -1$, т.е. любое число, которое больше или равно $-2$ и меньше или равно $-1$, удовлетворяет уравнению.

Упражнение 12 в)

Решите такие уравнения:

$|x - 2| = 1$;

$|x - 3|+ |x + 3| = 6$;

$|x| + |x - a| = a$.