Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§1. Координаты точки на прямой

1. Числовая ось.

Чтобы задать положение точки на прямой, поступают следующим образом. На прямой выбирают начало отсчета (некоторую точку $O$), единицу масштаба (отрезок $e$) и направление, которое будет считаться положительным (на рисунке указано стрелкой).

Прямая, на которой указаны начало отсчета, единица масштаба и положительное направление, называется числовой осью.

Для определения положения точки на числовой оси достаточно назвать одно число, например $+5$ . Это будет означать, что точка лежит на расстоянии $5$ единиц масштаба от начала отсчета в положительном направлении.

Число, определяющее положение точки на числовой оси, называется координатой точки на этой оси.

Координата точки на числовой оси равна расстоянию от точки до начала отсчета, выраженному в выбранных единицах масштаба и взятому со знаком плюс, если точка лежит в положительном направлении от начала, и со знаком минус — в противном случае. Начало отсчета часто называют началом координат. Координата начала отсчета (точки $O$) равна нулю.

Употребляют обозначения: $M(-7)$, $N(a)$ и т. д. Первая запись обозначает точку $M$ с координатой минус семь, вторая — точку $N$ с координатой $a$. Часто говорят коротко: «точка минус семь», «точка $a$» и т. п.

Введя координаты, мы установили соответствие между числами и точками прямой линии. При этом оказывается, что каждой точке прямой соответствует одно определенное число, и каждому числу соответствует одна определенная точка прямой. Такое соответствие называется взаимно однозначным.
На первый взгляд это кажется совсем простым — установить взаимно однозначное соответствие между точками прямой и числами. Однако когда математики задумались над этим, то оказалось, что для выяснения точного смысла слов, входящих в эту фразу, нужно создать большую и сложную теорию. Так, сразу же возникают два "простых" вопроса, на которые трудно ответить: что такое число и что следует понимать под точкой?

Несмотря на то, что вопрос об определении положения точки на прямой является крайне простым, необходимо внимательно в нем разобраться, чтобы привыкнуть видеть за числовыми соотношениями геометрические и обратно.