Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§1. Координаты точки на прямой

3. Расстояние между двумя точками

Начнем с упражнения. Найдите расстояние между двумя точками:

а)$A(-7)$ и $B(-20)$

б)$A(-3 \frac{1}{2})$ и $B(9)$

Решить эти задачи нетрудно, так как, зная координаты точек, легко разобраться, какая левее, а какая правее, как они расположены относительно начала координат и т. д. После этого легко сообразить, как вычисляется искомое расстояние.

Теперь предлагаем вам вывести общую формулу для нахождения расстояния между точками на числовой оси, т. е. решить такую задачу:

Задача

Даны точки $A(x_1)$ и $B(x_2)$: определить расстояние $\rho(A, B)$ между этими точками.

Решение:
Так как теперь конкретные значения координат точек не известны, то надо разобрать все возможные случаи взаимного расположения трех точек — $A$, $B$ и $O$ — начала координат.

Таких случаев шесть. Рассмотрим сначала 3 случая, в которых $B$ правее $A$.

В первом из них расстояние $\rho(A, B)$ равно разности расстояний точек $B$ и $A$ от начала координат. Так как в этом случае $x_1$ и $x_2$ положительны, то

$\rho(A,B) = x_2 - x_1$ .

Во втором случае расстояние равно сумме расстояний между $B_1$ и $A_1$ от начала координат, т.е. по прежнему

$\rho(A_1, B_1) = x_2 - x_1$,

поскольку в данном случае $x_2$ положительно, а $x_1$ отрицательно.

Покажите, что и в третьем случае расстояние будет определяться той же формулой.

Другие три случая отличаются от разобранных только тем, что $A$ и $B$ поменялись ролями. В каждом из случаев можно проверить, что расстояние между точками $A$ и $B$ равно

$\rho(A, B)= x_1-x_2$.

Итак во всех случаях, когда $x_2 \gt x_1$, расстояние $\rho(A, B) = x_2 - x_1$, а во всех случаях когда $x_2 \lt x_1$, расстояние $\rho(A, B) = x_1 - x_2$ . Вспоминая определение модуля, можно записать это единой формулой, пригодной во всех шести случаях:

При желании формулу можно записать в виде

$\rho(A, B) =|x_1 - x_2|$ .

Если быть педантичным, то нужно разобрать еще случаи, когда $x_1 = x_2$, т. е. когда точки совпадают. Ясно, что и в этом случае

$\rho(A, B) =|x_2 - x_1|$ .

Таким образом, поставленная задача решена полностью.