Математика

§1. Координаты точки на прямой

3. Расстояние между двумя точками.

Задача

Найти точку, расположенную в три раза ближе к точке A(-1), чем к точке B(7).

Решение:

Нарисовав точки A и B на числовой оси, можно легко увидеть, что точка M(1) является искомой.
Однако это решение неполно, так что есть еще одна точка, удовлетворяющая условию задачи.
Попробуем решить нашу задачу аналитически, используя только что полученную формулу расстояния между двумя точками.

Условие задачи означает, что 3\rho(M,A) = \rho(M,B), или, если обозначить через x координату искомой точки M,

3 \vert x+1 \vert =\vert x-7 \vert.

Это уравнение придется решать отдельно для каждого из трех участков: x \gt 7, -1 \lt x \lt 7, x \lt -1.<x<7,>

На первом участке решений нет (убедитесь в этом!), на втором мы получим уже найденную точку M(1); на третьем участке имеем

\left \{ \begin{array} {l} x

откуда x=-5.

Ответ:

M_1(1) и M_2(-5).

Решим теперь общую задачу.

Разделить отрезов AB в некотором отношении \lambda, если известны точки A(x_1) и B(x_2).

Решение:

Пусть точка M(x) искомая, т.е.

\frac{\rho (A,M)}{\rho (B,M)}=\lambda.

Имеем:

\vert x-x_1 \vert = \lambda \vert x-x_2 \vert.

Если M лежит внутри отрезка AB, то разности x-x_1 и x-x_2 имеют разные знаки (почему?). Тогда x+\lambda x= x_1 +\lambda x_2, откуда

x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}.

При разных \lambda получается разное положение точки M на отрезке AB.