§2. Координаты точки на плоскости: Упражнения

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

1. Координатная плоскость.

Упражнение 22

а) Какое слово здесь зашифровано:

$(6,2), (9,2), (12,0), (11,-2), (9,-2), (4,-2), (2,-1), (1,1), (-1,1), (-2,0), (-2,-2),$ $(2,1), (5,2), (12,2), (9,1), (10,-2), (10,0), (4,1), (2,2), (-2,2), (-2,1), (0,0),$ $(2,0), (2, \ldots 2), (4,-1), (12,-1), (12,-2), (11,0), (7,2), (4,0), (9,0), (4,2), (12,1), (-2,-1)?$

б) "Зашифруйте" аналогичным способом какое-нибудь слово, например "слон". (Конечно, эта задача может иметь много разных решений.)

в) Точка $M$ расположена прямо над точкой $A(-1,3)$ и выше ее на $5$ единиц. Найдите координаты точки $M$ .

Упражнение 23

Не рисуя точки $a(1,-3)$ , скажите, в какой четверти она расположена.

Упражнение 24

В каких четвертях может находиться точка, если ее абсцисса положительна?

Упражнение 25

Какие знаки будут у координат точек, расположенных во второй четверти? В третьей четверти? В четвертой?

Упражнение 26

На оси $Ox$ взята точка с координатой $-5$ . Каковы ее координаты на плоскости?

Упражнение 27

Точка $A(3,2)$ и $B(a, -1)$ расположены на одной прямой, параллельной оси $Oy$ . Найти $a$ .

Упражнение 28

Точки $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ лежат на одной прямой, параллельной $Ox$ . Каким соотношениями удовлетворяют их координаты?

Упражнение 29

Точка $M$ является серединой отрезка $OA$ , соединяющего начало координат $O$ и точку $A(-5,2)$ . Найти точку $M$ (т.е. найти ее координаты).

А вот задачи немного посложнее:

Упражнение 30

Нарисуйте точки $A(4,1), B(3,5), C(-1,4)$ и $D(0,0)$ . Если вы правильно нарисовали, то у вас получились вершины квадрата. Какова длина стороны этого квадрата? Какова его площадь? Найдите координаты середин сторон квадрата. Не можете ли вы доказать, что $ABCD$ - квадрат? Придумайте еще четыре точки (укажите их координаты) так, чтобы они служили вершинами квадрата.

Упражнение 31

Нарисуйте правильный шестиугольник $ABCDEF$ . Возьмите точку $A$ за начало координат, ось абсцисс направьте от $A$ к $F$ , за единицу масштаба возьмите отрезок $AF$ . Найдите координаты всех вершин этого шестиугольника. Сколько решений имеет задача?

Упражнение 32

а) Три точки $A(0,0), B(1,3)$ и $C(5,-2)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$ . Найти четвертую вершину (т.е. координаты точки $D$ ).

б) Найти четвертую вершину параллелограмма, если первые три лежат в точках $A(1000,1), B(532,8)$ и $C(-283,5)$ .

Упражнение 33

Решите теперь эти задачи в общем виде: на плоскости даны точки $A(0,0), B(x_1,y_1)$ и $C(x_2,y_2)$ . Какие координаты должна иметь точка $D$ , чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Упражнение 34

Какие координаты будут у точки, симметричной точке $M(a,b)$ относительно: а) оси $Ox$ ; б) оси $Oy$ ; в) начала координат?

При решении возьмите точку $M$ , например, в III четверти. Порлучив ответ, убедитесь, что он годится для всех случаев расположения точки $M$ .