Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

2. Соотношения, связывающие координаты.

Если известны обе координаты точки, то положение её на плоскости вполне определяется. Что можно сказать о положении точки, если известна только одна из её координат? Например, где лежат все точки, у которых абсцисса равна $3$? Где расположены все точки, у которых одна координата (но неизвестно какая) равна $3$?

Задание одной из двух координат определяет, вообще говоря, некоторую линию. Это факт даже лег в основу сюжету романа Жюля Верна "Дети капитана Гранта". Герои книги знали только одну из координат места кораблекрушения (широту). Поэтому, чтобы осмотреть все возможные точки, они были вынуждены обойти Землю по целой параллели — линии, для каждой из точек которой южная широта равна 37°11'.

Соотношения между координатами тоже чаще всего определяют не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т.е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению

$x=y$,

то получится прямая линия — биссектриса первого и третьего координатных углов, что нетрудно доказать.

Иногда, вместо "множество точек" говорят "геометрическое место точек". Например, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют соотношению

$x=y$

— это, как мы только что говорили, биссектриса первого и третьего координатных углов.

Не следует думать, что всякое соотношение между координатами задает обязательно линию на плоскости. Например, вы легко можете убедиться, что соотношению $x^2+y^2+1=0$ не удовлетворяют координаты ни одной точки на плоскости (оно определяет так называемое «пустое» множество).

Соотношение $x^2-y^2=0$ задает на плоскости пару взаимно перпендикулярных прямых.

Соотношение $x^2-y^2>0$ задает целую область.

Соотношению $xy=0$ удовлетворяют все точки, лежащие на координатных осях (и только такие точки).

Соотношению $x>0$ удовлетворяют точки полуплоскости, лежащей справа от оси $Oy$, соотношениям $x$ удовлетворяют точки отрицательной полуоси $Ox$ и т. д.