§2. Координаты точки на плоскости: 3. Расстояние между двумя точками.

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

3. Расстояние между двумя точками.

Мы с вами умеем теперь говорить о точках на языке чисел. Например, нам уже нет необходимости объяснять: возьмите точку, находящуюся на три единицы правее оси $Oy$ и на пять единиц ниже оси $Ox$ . Достаточно сказать просто: возьмите точку $(3,-5)$ .

Мы говорили уже, что это создает определенные преимущества. Так, мы можем рисунок, составленный из точек, передать по телеграфу, сообщить его вычислительной машине, которая совсем не понимает чертежей, а числа понимает хорошо.

В предыдущем пункте мы задали при помощи соотношений между числами некоторые множества точек на плоскости. Теперь попробуем последовательно переводить на язык чисел другие геометрические понятия и факты.

Мы начнем с простой и обычной задачи.

Задача 1.

Найти расстояние между двумя точками плоскости.

Решение:
Как всегда, мы считаем, что точки заданы своими координатами, и тогда наша задача состоит в том, чтобы найти правило, по которому можно вычислить расстояние между точками, зная их координаты. При выводе этого правила, конечно, разрешается прибегать к чертежу, но само правило не должно содержать никаких ссылок на чертеж, а должно только показывать, какие действия и в каком порядке надо совершать над данными числами — координатами точек, чтобы получить искомое число — расстояние между точками.

Быть может, некоторым из читателей этот подход к решению задачи покажется странным и надуманным. Чего проще, скажут они, точки заданы, пусть даже координатами. Нарисуйте эти точки, возьмите линейку и измерьте расстояние между ними.

Этот способ иногда не так уж плох. Однако представьте себе опять, что вы имеете дело с вычислительной машиной. В ней нет линейки, и она не рисует, но зато считать она умеет настолько быстро, что это для неё вообще не составляет никакой проблемы. Заметьте, что наша задача поставлена так, чтобы правило вычисления расстояния между двумя точками состояло из команд, которые может выполнить машина.

Поставленную задачу лучше сначала решить для частного случая, когда одна из данных точек лежит в начале координат. Начните с нескольких числовых примеров: найдите расстояние от начала координат точек $(12,5)$ ; $(-3,15)$ и $(-4,-7)$ .

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Теперь напишите общую формулу для вычисления расстояния точки от начала координат.

4_1

Ответ:

Расстояние точки $M(x,y)$ от начала координат определяется по формуле:

$\rho(O, M)=\sqrt{x^2+y^2}$

Очевидно, правило, выражаемое этой формулой, удовлетворяет поставленным выше условиям. В частности, им можно пользоваться при вычислении на машинах, которые способны умножать числа, складывать их и извлекать квадратные корни.

Теперь решим общую задачу

Задача 2.

Даны две точки плоскости $A (x_{1}, y_{1})$ и $B(x_{2}, y_{2});$ найти расстояние $\rho(A,B)$ между ними.

Решение:
Обозначим через $A_{1}$ , $B_{1}$ , $A_{2}$ , $B_{2}$ проекции точек $A$ и $B$ на оси координат.

4_1

Точку пересечения прямых $AA_{1}$ и $BB_{2}$ обозначим буквой $C$ . Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора получаем:
$\rho^2(A,B)=\rho^2(A,C)+\rho^2(B,C).$

Но длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $A_{2}B_{2}$ . Точки $A{2}$ и $B_{2}$ , лежат на оси $Oy$ и имеют соответственно координаты $y_{1}$ и $y_{2}$ . Согласно формуле, полученной в п. 3 параграфа 2, расстояние между ними равно $|y_{1}-y_{2}|$ .

Аналогично рассуждая, получим, что длина отрезка $BC$ равна $|x_{1}-x_{2}|$ . Подставляя найденные значения $AC$ и $BC$ в формулу $\rho^2(A,B)=\rho^2(A,C)+\rho^2(B,C)$ получаем:
$\rho^2(A,B)=(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2.$

Таким образом, $\rho(A,B)$ — расстояние между точками $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$ — вычисляется по формуле:
$\rho(A,B)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$ .

Ответ:

$\rho(A,B)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$

Заметим, что все наши рассуждения обслуживают не только такое расположение точек, как на рисунке 17, но и любое другое.

Сделайте другой чертеж (например, возьмите точку $A$ в I четверти, а точку $B$ —во II) и убедитесь, что все рассуждения можно будет дословно повторить, не меняя даже обозначений точек.

Заметим еще, что формулу для расстояния между точками на прямой можно переписать в аналогичном виде:

$\rho(A,B)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}$ .