§2. Координаты точки на плоскости: Упражнения

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

3. Расстояние между двумя точками.

Упражнение 39.

На плоскости даны три точки $A(3,-6), B(-2,4)$ и $C(1,-2)$ . Доказать, что эти три точки лежат на одной прямой.

Указание. Покажите, что одна из сторон «треугольника» $ABC$ равна сумме двух других его сторон.

Упражнение 40.

Примените формулу расстояния между точками для доказательства известной вам теоремы: в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.

Указание. Возьмите одну из вершин параллелограмма за начало координат и воспользуйтесь результатами задачи 33. Вы увидите, что доказательство теоремы сведется к проверке алгебраического тождества. Какого?

Упражнение 41.

Докажите с помощью метода координат следующую теорему: если $ABCD$ — прямоугольник, то для любой точки $M$ справедливо равенство $AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$ . Как удобнее расположить оси координат?

5_2

Формула деления отрезка в данном отношении, полученная для прямой (стр. 165), поможет нам получить аналогичную формулу для отрезков, лежащих в плоскости. Пусть даны две точки $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ и требуется разделить отрезок $AB$ в отношении $\lambda$ . Пусть $A_1$ , $B_1$ , и $M_1$ — проекции концов отрезка и искомой точки $M$ на ось $Ox$ , $A_2$ , $B_2$ и $M_2$ — проекции этих точек на $Oy$ . Ясно, что точки $M_1$ и $M_2$ делят соответственно отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ в том же отношении $\lambda$ .
Поэтому $x_M=\frac{x_1+\lambda \cdot x_2}{1+\lambda}$ и $y_M=\frac{y_1+\lambda \cdot y_2}{1+\lambda}$ .

5_4

Упражнение 42.

Даны три точки $A(0,0)$ , $B(1,-2)$ , $C(-7,5)$ .
Найти координаты центра тяжести треугольника $ABC$ .

Указание. Центр тяжести треугольника совпадает с пересечением медиан.

Ответ:

$(-2,1)$ .

Упражнение 43.

Докажем аналитически, что диагонали в параллелограмме, пересекаясь, делятся пополам.

Указание. Выбрав поудобнее оси координат, докажите, что середины диагоналей совпадают.

5_3

Упражнение 44.

Докажите, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке.

Указание. Воспользуйтесь тем, что при пересечении медианы делятся в отношении $1:2$ .

Упражнение 45.

Решите задачу 44 в общем виде: пусть $A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2)$ и $C(x_3,y_3)$ — вершины некоторого треугольника. Найти координаты точки $O$ — точки пересечения медиан этого треугольника.

Ответ:

$x_0=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ , $y_0=\frac {y_1+y_2+y_3}{3}$ .

Упражнение 46.

Проведем прямую через начало координат $O$ и точку $A(1,k)$ . Покажите, что любая точка $M$ с координатами $(x,kx)$ лежит на этой прямой.

Указание. Докажите, что сумма или разность расстояний от точки $M$ до точек $O$ и $A$ равна расстоянию $OA$ , т. е. докажите тождество: $\sqrt{x^2+(kx)^2}\pm \sqrt{(x-1)^2+ (kx-k)^2}=\pm \sqrt{1+k^2}$ .