Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

4. Задание фигур.

Всякую фигуру мы рассматриваем как совокупность точек, из которых она состоит, и задать фигуру — это значит задать способ, по которому можно было бы узнавать, принадлежит ли та или иная точка рассматриваемой фигуре или нет.

Чтобы найти такой способ, например, для окружности, воспользуемся определением окружности как множества точек, расстояние которых от некоторой точки $C$ (центра окружности) равно числу $R$ (радиусу). Значит, чтобы точка $M(x,y)$ лежала на окружности с центром $C(a,b)$, необходимо и достаточно, чтобы $\rho(M,C)$ было равно $R$ .

5_5

Вспомним, что рaccтояние между точками определяется по формуле

$\rho(A,B)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ .

Следовательно, условие того, что точка $M(x,y)$ лежит на окружности с центром $C(a,b)$ и радиусом $R$, выражается соотношением $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R$ можно переписать в виде:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ .

Таким образом, чтобы проверить, лежит ли какая-нибудь точка на окружности, нужно проверить, удовлетворяется ли записанное соотношение  для этой точки. Для этого нужно подставить  вместо $x$ и $y$ координаты рассматриваемой точки. Если мы получим тождество, то точка лежит на окружности, в противном случае точка не лежит на окружности. Итак, зная уравнение окружности, мы можем про любую точку плоскости сказать, лежит она на окружности или нет. Поэтому уравнение $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ называют уравнением окружности с центром $C(a,b)$ и радиусом $R$.