§2. Координаты точки на плоскости: Теория

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

4. Задание фигур.

Мы убедились в том, что окружность на плоскости можно задать с помощью некоторого уравнения. Таким же образом можно задавать и другие линии, только уравнения, конечно, будут выглядеть

Мы уже говорили, что уравнение $x^2-y^2=0$ задает пару прямых (стр. 170). Остановимся на этом подробнее. Если $x^2- y^2=0$ , то $x^2=y^2$ и, следовательно, $|x|=|y|$ . Обратно, если $|x|=|y|$ , то $x^2=y^2$ поэтому эти соотношения равносильны. Но абсолютная величина абсциссы точки — это расстояние ее от оси $Oy$ , а абсолютная величина ординаты — расстояние точки от оси $Ox$ . Значит, точки, для которых $|x|=|y|$ , одинаково удалены от осей координат, т. е. лежат на двух биссектрисах углов, образованных этими осями. Ясно, что и обратно: координаты любой точки на каждой из этих двух биссектрис удовлетворяют соотношению $x^2=y^2$ . Поэтому уравнение $x^2-y^2=0$ мы называем уравнением совокупности этих двух биссектрис.

Вы, конечно, знаете и другие примеры задания линий с помощью уравнений. Например, уравнению $y-x^2$ удовлетворяют все точки параболы с вершиной в начале координат, и только точки этой параболы. Уравнение называется уравнением этой параболы.

5_1

Вообще уравнением некоторой линии называется уравнение, которое обращается в тождество всякий раз, когда вместо $x$ и $y$ подставляют координаты любой точки этой линии, и не удовлетворяется, если подставить координаты точки, не лежащей на этой линии.

По уравнениям линий можно узнавать их свойства. Например, даже не зная, какую линию задает уравнение

$(x^2+y^2+y^2)=x^2+y^2$ ,

мы можем сказать, что эта линия проходит через начало координат, потому что точка $(0,0)$ удовлетворяет уравнению, а точка $(1,1)$ не лежит на этой кривой, потому что $(1^2+1^2+1^2)\neq1^2+1^2$ .