§2. Координаты точки на плоскости: Упражнения

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

4. Задание фигур.

Упражнение 50.

Докажите, что кривая, заданная уравнением $(x^2+y^2+y^2)=x^2+y^2$ , симметрична относительно $Oy$ . Эта кривая изображена на рисунке. Она называется кардиоидой, потому что oнa имеет форму сердца.

Так что, если бы вычислительная машина могла чувствовать к кому-нибудь симпатию, то, вероятно, она бы передала ему в виде уравнения рисунок сердца, а может быть, преподнесла бы математический «букет» — уравнения кривых, изображенных на рисунке;

6_2 рис_24(б)

как видите, эти кривые действительно похожи на цветы. Уравнения этих математических цветов мы напишем позже, когда вы познакомитесь с другими координатами, так называемыми полярными. А сейчас решим несколько задач на составление уравнений прямых.

Упражнение 51.

Напишите уравнение биссектрисы угла $AOB$ .

6_4

Упражнение 52.

Прямая отсекает на осях координат отрезки, равные $1$ . Найти зависимость между координатами точек этой прямой.

рис_26

Решение:
a) Пусть точка $M(x, \ y)$ лежит на нашей прямой.

Рис_27

Тогда $OM_1=x$ , $OM_2=y$ . Так как $\angle OAB = 45 ^\circ$ , то $M_2B=M_2M=x$ . Но $OM_2+M_2B=1$ , откуда видно, что координаты точки $M(x, \ y)$ удовлетворяют уравнению $x+y=1$ ;
б) проверьте, что это cooтношение выполняется для точки $M ^\prime (x, \ y)$ , лежащей ниже оси $Ox$ .

Рис_28

Решение:

$x$ для точки $M ^\prime$ положителен и равен $OM _1^\prime$ — длине отрезка $OM_1^\prime$ , $y$ — отрицателен и равен ( $-OM_2^\prime$ ). Отсюда ясно, что сумма положительного числа $x$ и отрицательного числа $y$ тоже равна $1$ : $x+y=OM_1^\prime+(-OM_2^\prime)=OM_1^\prime-OM_2^\prime=BM_2^\prime-OM_2^\prime=1$ .

Ответ:

Координаты любой точки прямой $AB$ удовлетворяют уравнению. Это уравнение можно записать в другом виде: $y = -x+1$ .

Упражнение 53.

Найти соотношение между координатами точек $MN$ , если $OM=ON=1$ .

Рис_29.

Решение:

Из чертежа ясно, что для точки $A$ ордината $y$ больше абсциссы $x$ на $1$ , т.е $y=x+1$ . Проверьте, что этому соотношению удовлетворяют координаты точек прямой, лежащих во II четверти и в III четверти.