§2. Координаты точки на плоскости: Задача

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

4. Задание фигур.

Задача.

Положение прямой определено, если дан угол $\alpha$ — угол наклона ее к оси $Ox$ и отрезок отсекаемый этой прямой на оси ординат.
Найти соотношение, связывающее координаты точек этой прямой.

рис_30

Решение:
Пусть $M(x, y)$ — точка на прямой. Проведем $BK$ параллельно $Ox$ тогда $\angle MBK$ тоже будет равен $\alpha$ .

Из треугольника $MBK$ имеем:

$\frac{MK}{BK}=tg\alpha$ т.е.

$\frac{y-b}{x}=tg\alpha$

Рис_31.

Обозначим $tg\alpha=k$ . Тогда это соотношение можно переписать в виде

$y=kx+b$ .

Проверьте, что это соотношение выполняется и для точек прямой, расположенных так же, как точки $P$ и $Q$ . Если прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, ее уравнение пишется точно так же, только коэффициент $b$ будет в этом случае отрицательный.

pic.32

Ответ:

Координаты точек прямой, пересекающей ось $Oy$ в точке $(0,b)$ и наклоненной к оси $Ox$ под утлом $\alpha$ , удовлетворяют уравнению $y=k x+b$ , где $k=tg\alpha$ ; $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

Такое уравнение мы смогли получить только в случае, когда прямая наклонена под острым углом к положительной полуоси $Ox$ . Если этот угол тупой, то для любой точки $M$ прямой будет выполняться соотношение $\frac{y-b}{-x}= \text{tg}{\alpha_1}$ или $y=-kx+b$ , где $k$ — тангенс $\alpha_1$ — острого угла, смежного с углом между прямой и положительным направлением оси $Ox$ .

рис_34

Когда вы узнаете, что у тупых углов тоже есть тангенс, то можно будет записать эти два вида уравнений по единому правилу (так же как наличие отрицательных чисел дает нам возможность записать это уравнение единым образом независимо от расположения прямой относительно начала координат, т.е. от знака $b$ ): $y=kx+b$ , где $b$ — тангенс угла между прямой и осью $Ox$ , причем $k\gt 0$ , если этот угол острый, и $k\lt 0$ , если он тупой. Это позволяет прямой вращаться как угодно на плоскости вокруг точки $B$ : будет только меняться значение $k$ .

Единственно, что запрещается, — это случай, когда прямая направлена вертикально. Тогда соотношение между координатами прямой вообще нельзя записать в виде $y=kx+b$ , для точек этой прямой $x$ всегда один и тот же, а $y$ — любой. Значит уравнением этой прямой является равенство $x=0$ .