§2. Координаты точки на плоскости: Задачи

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

4. Задание фигур.

Задача.

Какому условию удовлетворяют точки прямой, проходящей через точку $(2;5)$ ?

Решение:
Всякую прямую (кроме вертикальной) можно задать уравнением вида:
$y=kx+b$ .
Так как требуется, чтобы прямая проходила через точку $(2;5)$ , то должно выполняться равенство:
$5=2 k+b$ .
Вычтем это тождество из предыдущего уравнения, получим:
$y-5=k(x-2)$ .
Это уравнение при любом $k$ дает некоторую прямую, проходящую через точку $(2;5)$ , так как если подставить вместо $x$ и $y$ числа $2$ и $5$ , то слева и справа получится нуль. Коэффициент же $k$ определить нельзя, потому что в условии не указано направление, в котором идет прямая.
Таким образом, уравнение $y-5=k(x-2)$ выражает все множество прямых, проходящих через точку $(2;5)$ за одним исключением: вертикальная прямая не может быть записана в виде, так как ни при каком $k$ она не получится из уравнения. Но ее уравнение, конечно, легко получить непосредственно: это будет $x=2$ .

Ответ:

Итак, любая прямая, проходящая через точку $(2;5)$ , записывается либо уравнением вида $y-5=k(x-2)$ , либо уравнением $x=2$ .

Задача.

Написать уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_{1}, y_{1})$ и $B(x_{2}, y_{2})$ .

Решение:
Как всякая, проходящая через точку $A(x_{1}, y_{1})$ , искомая прямая задается уравнением вида:
$y-y_{1}=k(x-x_{1})$ .

Здесь нам пока неизвестен коэффициент $k$ . Но по условию прямая проходит и через точку $B(x_{2}, y_{2})$ , значит, выполняется равенство:
$y_{2}-y_{1}=k(x_{2}-x_{1})$ ,
откуда мы и найдем коэффициент $k$ :
$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ .

Теперь остается подставить значение $k$ в уравнение $y-y_{1}=k(x-x_{1})$ :
$y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$ .
Обычно это уравнение переписывается в виде:
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$ .

Ответ:

Итак, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_{1}, y_{1})$ и $B(x_{2}, y_{2})$ , пишется по правилу $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$ .