Метод координат. Факультативный материал для школьников 7-8 классов.

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

5. Решение задач.

Задача.

Дан треугольник $ABC$; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Примем точку $A$ за начало координат, ось абсцисс направим от $A$ к $B$. Тогда точка $B$ будет иметь координаты $(c,0)$, где $c$ — длина отрезка $AB$.
Пусть точка $C$ имеет координаты $(q,h)$, а центр искомой окружности — координаты $a$, $b$. Радиус этой окружности обозначим через $R$. Запишем в координатах, что точки $A(0,0)$, $B(c,0)$ и $C(q,h)$ лежат на искомой окружности:

$a^2+b^2=R^2$,

$(c-a)^2+b^2=R^2$,

$(q-a)^2+(h-b)^2=R^2$.

Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек $A(0,0)$, $B(c,0)$ и $C(q,h)$ от центра окружности $(a,b)$ равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром в $(a,b)$ и радиусом $R$), т. е.

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$,

а затем в это уравнение вместо $x$ и $y$ подставить координаты точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на этой окружности.

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

$a= \frac{c}{2}$, $b= \frac{q^2+h^2-cq}{2h}$,

$R= \frac{ \sqrt{(q^2+h^2) \mid (q-c)^2+h^2 \mid}}{2h}$.

Задача решена, так как мы нашли координаты центра.

Заметьте, что при решении этой задачи мы не прибегали к чертежу.

Отметим, что заодно мы получили формулу для вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника. Эту формулу можно упростить, заметив, что

$\sqrt{q^2-h^2}= \rho$ $(A,C)$,$\sqrt{(q^2-c^2)+h^2}= \rho$ $(B,C)$,

а число $h$ равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$. Если обозначить длины сторон $BC$ и $AC$ треугольника соответственно через $a$ и $b$, то формула для радиуса примет красивый и удобный вид:

$R= \frac{ab}{2h}$.

Заметим, что $hc=2S$, где $S$ —площадь треугольника $ABC$, и тогда перепишем нашу формулу в виде:

$R= \frac{abc}{4S}$.

Приведем задачу, которая интересна тем, что геометрическое решение ее довольно сложно; если же перевести ее на язык координат, решение становится совсем простым.

Задача.

На плоскости даны точки $A$ и $B$; найти геометрическое место точек $M$, удаленных от $A$ вдвое больше, чем от $B$.

Решение:

Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку $A$, а положительная полуось абсцисс пошла по $AB$. За единицу масштаба возьмем отрезок $AB$. Тогда точка $A$ будет иметь координаты $(0,0)$, точка $B$ — координаты $(1,0)$. Координаты точки $M$ обозначим через $(x,y)$. Условие $\rho$ $(A,M)= 2 \rho(B,M)$ записывается в координатах так:

$\sqrt{(x^2+y^2)}=2 \sqrt{(x-1)^2+y^2}$.

Мы получили уравнение искомого геометрического местa точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый вам вид. Возведя обе части в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство