§2. Координаты точки на плоскости: Полярные координаты

Математика

§2. Координаты точки на плоскости

6. Другие системы координат.

Есть координаты, более существенным образом отличающиеся от декартовых. Примером таких координат являются полярные координаты, о которых мы уже упоминали.

Полярные координаты точки на плоскости определяются следующим образом.

На плоскости берется числовая ось.

рис. 41

Начало координат этой оси (точка $O$ ) называется полюсом, а сама ось — полярной осью. Для определения положения точки $M$ достаточно указать два числа: ${\rho}$ — полярный радиус (расстояние этой точки от полюса) и ${\phi}$ — полярный угол (угол поворота от полярной оси до луча $OM$ ). На нашем рисунке полярный радиус ${\rho}=4$ , а полярный угол ${\phi}$ равен ${225}^{\circ}$ , или $\frac{5{\pi}}{4}$ .

${\phi}$ — это греческая буква,читается «фи».

Для измерения углов ${\phi}$ в полярной системе координат мы наряду с градусной мерой будем применять радианную. За $1$ радиан принимается центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой, равна $R$ радиусу окружности. Если $R=1$ , то полный угол ${360}^{\circ}$ получает радианную меру $2{\pi}$ , угол в ${180}^{\circ}$ — меру ${\pi}$ , прямой угол — меру $\frac{\pi}{2}$ , угол в ${45}^{\circ}$ — меру $\frac{\pi}{4}$ и т.д. Радиан равен $\frac{{180}^{\circ}}{\pi} \approx 57 \cdot 17^\prime 45 ^{\prime \prime}.$ Во многих вопросах радианная мера значительно удобнее градусной.

Итак, в полярной системе координат положение точки на плоскости задается двумя числами, указывающими направление, в котором находится точка, и расстояние до этой точки. Такой способ указания места очень прост и часто употребляется. Например, чтобы объяснить дорогу заблудившемуся в лесу человеку, ему говорят: «От горелой сосны (полюс) сверните на восток (направление), пройдете километра два (расстояние), и будет сторожка (точка)».

Кто занимался в туристических секциях, легко поймет, что хождение по азимуту основано на том же принципе, что и полярные координаты.

С помощью полярных координат можно тоже задавать на плоскости различные множества точек. Очень простым, например, будет уравнение окружности с центром в полюсе.

рис. 42

Если радиус окружности равен $R$ , то и полярный радиус любой точки окружности (и только точек на рассматриваемой окружности) тоже равен $R$ , значит, уравнение этой окружности имеет вид

${\rho}=R,$

где $R$ — некоторая постоянная величина.

Какое множество получится, если рассмотреть уравнение ${\phi}={\alpha}$ , где ${\alpha}$ — некоторое постоянное число (например, $\frac{1}{2}$ или $\frac{3{\pi}}{2}$ )?

Ответ ясен: точки, для которых ${\phi}$ постоянно и равно ${\alpha}$ , заполняют луч, выходящий из полюса под углом ${\alpha}$ к полярной оси.

рис. 43

Например, если ${\alpha}$ равно $\frac{1}{2}$ , то этот луч проходит под углом, равным примерно ${29}^{\circ}$ к оси, а если ${\phi}=\frac{3{\pi}}{2}$ , то луч направлен вертикально вниз, т.е. угол между положительным направлением оси и лучом равен ${270}^{\circ}$ .

Напоминаем, что число, служащее координатой ${\phi}$ , нужно истолковывать как радианную меру угла (см. сноску на стр.191). Угол в $\frac{1}{2}$ радиана равен примерно ${29}^{\circ},$ а угол в $\frac{3{\pi}}{2}$ радиана равен точно ${270}^{\circ}.$