Математика

§2. Координаты точки на плоскости

6. Другие системы координат.

Разберем еще два примера. Уравнение {\rho}={\phi} изображает некоторую спираль.

В самом деле, при {\phi}=0 имеем {\rho}=0 (полюс), а с ростом {\phi} величина {\rho} тоже растет, так что точка, поворачиваясь вокруг полюса (против часовой стрелки), в то же время удаляется от него. Другую спираль изображает уравнение(\rho)=(\frac{1}{\phi}).

Здесь при {\phi}, близком к 0, величина {\rho} велика, а при возрастании {\phi} величина {\rho} убывает и мала при больших {\phi}. Поэтому спираль при неограниченном возрастании {\phi} «навертывается» на точку O.

Уравнения кривых в полярной системе вам пока труднее понять главным образом потому, что вы не изучали тригонометрии. Если же вы с ней немного знакомы, попробуйте понять, какие множества задают такие соотношения:

{\rho}={\sin{\phi}}; {\rho}({\cos{\phi}}+{\sin{\phi}})+1=0.

Полярная система координат в некоторых случаях удобнее декартовой. Вот как, например, выглядит для полярных координат уравнение кардиоиды:

{\rho}=1-{\sin{\phi}}.

Если вы знаете немного тригонометрию, то по этому уравнению вы гораздо легче представите себе кривую, чем по ее уравнению в декартовых координатах.

Те красивые цветы, которые изображены под кардиоидой, задаются простыми уравнениями:

{\rho}={\sin{{5}{\alpha}}},

({\rho}-2)({\rho}-2-|{\cos{{3}{\phi}}}|)=0.

Мы ничего не говорили о взаимной однозначности соответствия между точками плоскости и полярными координатами. Это объясняется тем, что такой взаимной однозначности просто нет. В самом деле, если вы прибавите к углу {\phi} любое целое кратное 2{\pi} (т. е. целое кратное {360}^{\circ}), то направление луча, очевидно, не изменится. Иными словами, точки с полярными координатами {\rho}, {\phi} и {\rho}, {\phi}+2k{\pi}, где {\rho}>0 и k — любое целое число, совпадают.

рис. 46

Мы хотим привести еще один пример, где тоже нет однозначности соответствия.

Во вступлении мы говорили о том, что можно определять координаты на линиях, и в §1 рассмотрели координаты на самой простой линии — прямой. Сейчас мы покажем, как можно придумать координаты еще для одной линии — окружности. Для этого, как и в §1, выберем на окружности некоторую точку — начало координат.

Положительным направлением движения по окружности будем считать, как обычно, вращение против часовой стрелки. Единицу масштаба на окружности тоже можно выбрать естественным образом: выберем за единицу радиус этой окружности. Тогда координатой точки M на окружности будет длина дуги OM, взятая со знаком плюс, если вращение от O к M идет в положительном направлении, и со знаком минус — в противном случае.

Сразу же бросается в глаза важное отличие этих координат от координат точек на прямой: здесь нет взаимной однозначности соответствия между числами (координатами) и точками. Ясно, что каждому числу соответствует одна определенная точка окружности. Однако пусть задано число {\alpha}; чтобы найти соответствующую ему точку на окружности (т. е. точку с координатой {\alpha}), нужно отложить по окружности дугу длиной в {\alpha} радиусов в положительном направлении, если число {\alpha} положительное, на отрицательном направлении, если {\alpha} отрицательное. При этом, например, точка с координатой 2{\pi} совпадет с началом координат. Таким образом, в другую сторону соответствие не является однозначным, т.е. одной и той же точке соответствует несколько разных чисел. Легко видеть, что каждой точке окружности соответствует бесконечное множество чисел.