§1. Некоторые примеры: Шаг 1.

Функции и графики

§1. Некоторые примеры

Шаг 1.

Если буквально следовать определению, то для построения графика некоторой функции нужно найти все пары соответствующих значений аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В большинстве случаев это сделать практически невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому обычно находят несколько точек, принадлежащих графику, и соединяют их плавной кривой.

Попробуем построить таким способом график функции

$y= \frac{1}{1+x^2}$ .

(1)

Выберем несколько значений аргумента, найдем соответствующие значения функции и запишем их в таблицу:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

По полученным координатам построим точки и соединим их пока штриховой линией.
Проверим теперь, правильно ли мы провели кривую между найденными точками графика. Для этого возьмем какое-нибудь промежуточное значение аргумента, например $x=1 \frac{1}{2}$ , и вычислим соответствующее значение функции $y= \frac{4}{13}$ . Полученная точка $(1 \frac{1}{2}, \frac{4}{13})$ хорошо «ложится» на нашу кривую, так что мы провели ее вроде бы правильно.
Однако возьмем еще $x = \frac{1}{2}$ . Тогда $y = \frac{4}{5}$ , и соответствующая точка ложится выше нарисованной нами кривой. Значит, между $x=0$ и $x=1$ график идет не так, как мы думали. Возьмем на этом «сомнительном» участке еще значения $x= \frac{1}{4}$ и $x= \frac{3}{4}$ . Соединив все полученные точки, мы получим более правильную кривую. Взятые для контроля точки: и $( \frac{1}{3}, \frac{9}{10})$ , и $( \frac{2}{3}, \frac{9}{13})$ — хорошо «ложатся» на эту кривую.

12_1