Элементарная математика. Геометрия.

Задача 12

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны $1$, найти расстояние от точки $A$ до плоскости $A_1B_1C$.

Решение:

Прямая $FC$ перпендикулярна $AE$ и $AA_1$, поэтому перпендикулярна плоскости $AA_1E_1$. Пусть $FC \cap AE=G$. Плоскость $AA_1E_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C$, содержащей прямую FC, и пересекает ее по прямой $A_1G$. Длина высоты $AH$ в треугольнике $AA_1G$ является искомым расстоянием.
Так как в прямоугольном треугольнике $ADE$.

$AE=\sqrt{AD^2 - ED^2}$, то есть $AE = \sqrt3$, то $AG=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из прямоугольного треугольника $AGA_1$ находим

$GA_1=\sqrt{\frac{3}{4}+1}=\frac{\sqrt7}{2}$

Высота $AH$ равна
$AH=\frac{AG\cdot AA_1}{GA_1}=(\frac{\sqrt3}{2}\cdot 1):\frac{\sqrt7}{2}=\sqrt{\frac{3}{7}}$

Ответ:

$\sqrt{\frac{3}{7}}$.