Элементарная математика. Геометрия.

Задача 13

В правильной шестиугольной пирамиде $MABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $4$, найти расстояние от середины ребра $BC$ до плоскости грани $EMD$.

Решение:

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ $BD\perp DE$ и $BD=\sqrt{3}$. Точка $O$ центр $ABCDEF$. Тогда $MO$ высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника $MOD$ получаем $MO=\sqrt{15}$. Апофему $ML$ боковой грани $DME$ находим из прямоугольного треугольника $MDL$

$ML=\sqrt{MD^2 - (\frac{DE}{2})^2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$.
По признаку перпендикулярности плоскостей ($DE\perp MOL$, поскольку $DE \perp MO$ и $DE\perp ML$) $MOL\perp DME$. Поэтому высота $OH$ треугольника $MOL$ перпендикулярна плоскости $DME$. Из прямоугольного треугольника $MOL$, в котором $OL=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем

$OH=\frac{MO\cdot OL}{ML}=\sqrt{15}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{3\sqrt{7}}{2}=\sqrt{\frac{5}{7}}$ .
Опустив из точки $N$(середины ребра $BC$) перпендикуляры $NQ$ на плоскость грани $DME$ и $NK$ на прямую $DE$, получим треугольник $NQK$, подобный треугольнику $OHL$. Так как расстояние от точки $N$ до прямой $DE$ равно $NK=\frac{3}{4}\cdot BD = \frac{3}{2}\cdot OL$, то коэффициент подобия этих треугольников равен $\frac{3}{2}$. отсюда
$NQ = \frac{3}{2}\cdot OH= \frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{5}{7}}=\frac{45}{28}$.

Ответ:

$\frac{45}{28}$.