Элементарная математика. Геометрия.

Задача 181

В прямоугольном $\triangle{ABC}$ катет $CA$ равен $b$. Катет $CB$ равен $a$, $CH$ — высота, $AM$ — медиана. Найти площадь $\triangle{BMH}$.

Решение:
Для решения воспользуемся следующими утверждениями:
1) отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, т.е. если $\triangle_{1}\sim\triangle_{2}$ с коэффициентом подобия $k$, то $\frac{S_{1}}{S_{2}}=k^2$;
2) медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Прямоугольные треугольники $\triangle{CHB}$ и $\triangle{ACB}$ подобны, поскольку у них общий $\angle{B}$. Поскольку гипотенузы треугольников $\triangle{CHB}$ и $\triangle{ACB}$ равны соответственно $a$ и $\sqrt{a^2+b^2}$, то коэффициент подобия $k=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Так как $S_{ACB}=\frac{1}{2}ab$, то имеем:

$S_{CHB}=k^2\, S_{ACB}=\frac{a^2}{a^2+b^2}\, \frac{1}{2}\,ab=\frac{1}{2}\,\frac{a^3b}{a^2+b^2}$.

Учитывая, что $HM$ — медиана $\triangle{CHB}$ и $S_{CHB}=\frac{1}{2}\,\frac{a^3b}{a^2+b^2}$,  получаем:
$S_{BMH}=\frac{1}{2}S_{CHB}=\frac{a^3b}{4(a^2+b^2)}$.

Ответ:

$\frac{a^3b}{4(a^2+b^2)}$.