Элементарная математика. Геометрия.

Задача 174

К окружности радиуса $R$ из внешней точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$, образующие угол $\alpha$. Определите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности.

Решение:

Заметим, что радиус, проведенный в точку касания образует прямой угол с касательной. Отрезок, соединяющий точку $M$ и центр окружности, является биссектрисой $\angle M$. Тогда $AM = \frac{R}{\text{tg}{\frac{\alpha}{2}}}= R\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$ .

Вычислим площадь $\bigtriangleup{A}{M}{O}$:

$S_{\bigtriangleup{A}{M}{O}} =$ $\frac{1}{2}R\,R\,\text{ctg}\frac{\alpha}{2} =$ $\frac{R^2}{2 }\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$ .

Зная площадь треугольника $\bigtriangleup{A}{M}{O}$, мы можем найти площадь фигуры $AMBO$, она равно двум площадям $\bigtriangleup{A}{M}{O}$ .

$S_{AMBO} = 2 S_{\bigtriangleup{A}{M}{O}} = R^2\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$ .

Найдем площадь сектора $AOB$, $S_{AOB} = \gamma (\frac{\pi R^2}{360}) = (180 - \alpha) (\frac{\pi R^2}{360})$ (где угол $\angle \gamma = \angle AOB)$ .

Из рисунка видно, что нужную площадь можно найти, если от площади фигуры $AMBO$ отнять площадь сектора $AOB$ .

$S = R^2\text{ctg}\frac{\alpha}{2}- \frac{(180 - \alpha) \pi R^2}{360} = R^2 (\text{ctg}\frac{\alpha}{2} - \frac{(180 - \alpha) \pi }{360})=R^2 (\text{ctg}\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{2} (\pi - \alpha))$ .