Элементарная математика. Геометрия.

Задача 142

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ взята точка $M$ так, что $AM=a, MC=b$. В треугольнике $ABM$ и $CBM$ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей со стороной $BM$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABM$. По свойству касательных прямых, проведенных к окружности из одной точки, получим

$AN=AK$, $AK=AN=AM-NM$, $LM=NM$ , $KB=LB$, $LB=BM-LM$.

Рассмотрим треугольник $CBM$. Аналогично

$CE=CM-ME$, $CE=FC$, $ME=MG$, $BG=BM-MG=BF$.

Т.к. нам нужно найти $LM-MG$, то выразим эту разность из равенства боковых сторон треугольника $ABC$.

$AB=BC$, $AK+KB=FC+BF$, $AN+BM-LM=CE+BM-MG$, $AM-NM+BM-LM=CM-ME+BM-MG$, $a-LM+BM-LM=b-MG+BM-MG$,

$2LM-2MG=a-b$, $LM-MG=\frac{|a-b|}{2}$.

Ответ:

$\frac{|a-b|}{2}$.