Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Дан полукруг с диаметром $AB$. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр $AB$?

Решение:

Обозначим середину полуокружности точкой $L$ и пересечения прямых с диаметром точками $K$ и $N$. Тогда $KLN$ треугольник, площадь которого равна $\frac{1}{3}$ площади полукруга, или $\frac{1}{6}$ площади круга с диаметром $AB.$

$S_{\triangle KLN}=\frac{1}{2} \cdot KN \cdot LO,$ где $LO=R$ — высота.

Тогда:

$\frac{1}{6}$ $\cdot \pi \cdot R^2$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot KN \cdot R ,$ где $KN$ $=$ $\pi \cdot \frac{R}{3} .$

Диаметр равен $2R,$ значит отрезки равны:

$AK=R \cdot \frac{ (6- \pi) }{6},$ $KN= \pi \cdot \frac{R}{3},$ $NB=R \cdot \frac{ (6- \pi) }{6} .$

Следовательно, прямые делят диаметр в отношении:

$AK \colon KM \colon NB=(R- \frac{ \pi \cdot R}{6}) \colon \frac{ \pi \cdot R}{3}$ $\colon (R- \frac{ \pi \cdot R}{6})=(1- \frac{ \pi}{6}) \colon \frac{ \pi}{3}$ $\colon (1- \frac{ \pi}{6})=(6- \pi) \colon 2 \cdot \pi \colon (6- \pi).$

Ответ:

$AK \colon KM \colon NB=(6- \pi)\colon2 \cdot \pi \colon(6- \pi)$.