Элементарная математика. Геометрия.

Задача 194

Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:1$, а точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:2$ (считая в обоих случаях от вершины $A$). Доказать, что длина отрезка $KM$ равна радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC.$.

Решение:

Построим правильный треугольник $ABC$. Точки $K$ и $M$ изображаем на чертеже в соответствии с условием. Соединив точки $K$ и $M$, получим отрезок $KM$.

А теперь перейдем непосредственно к доказательству.

Пусть сторона этого равностороннего треугольника равна $a$, тогда, по условию задачи, $AM=\frac{a}{3}, AK=\frac{2a}{3}$.

По теореме синусов радиус $R$ описанной окружности равен

$R=\frac{a}{2 \sin \alpha}.$

Так как это равносторонний треугольник, то все углы треугольника равны $60^{\circ}$. Тогда
$R=\frac{a}{2 \sin 60^{\circ }}= \frac{2a}{2\cdot\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
Остается показать, что отрезок $KM$ равен такому же значению.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов для $\triangle AKM$:

$KM^2=AM^2+KC^2-2\cdot AM\cdot KC\cdot\sin\angle{BAC}=\frac{a^2}{3^2}+\frac{4a^2}{3^2}-2\cdot\frac{a}{3}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5a^2}{9}-\frac{2a^2}{9}=\frac{3^2}{9}=\frac{a^2}{3}$

Отсюда следует, что:

$KM=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Задача решена.