Элементарная математика. Геометрия.

Задача 201

Дан квадрат со стороной $a$. Найдите площадь правильного треугольника, одна вершина которого совпадает с серединой одной из сторон квадрата, а две другие расположены на диагоналях квадрата.

Решение:

Треугольник $\bigtriangleup ONM$ прямоугольный и равнобедренный, следовательно $\angle ONM$ равен $45^\circ$.
Так как $\bigtriangleup KNM$ равносторонний, то $\angle KNM = 60^\circ$ . Отсюда следует, что $\angle BNK = 75^\circ$. $\angle KBN=45^\circ$, так как в квадрате диагональ является биссектрисой.
Запишем теорему синусов для $\bigtriangleup BNK$:
$\frac{BK}{\sin\angle BNK}=\frac{NK}{\sin\angle NBK}$,
где $BK=\frac{a}{2}$ .
$\frac{\frac{a}{2}}{\sin75^\circ}=\frac{NK}{\sin45^\circ}$,
отсюда

$\displaystyle{NK=\frac{\frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin45^\circ \cos30^\circ+\cos45^\circ \sin30^\circ}}$

$\displaystyle{=\frac{\frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}} {2} + \frac{\sqrt{2}} {2} \cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{a \cdot \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}} {4} }=\frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}=\frac{a}{\sqrt{3}+1}}$ .

Посчитаем площадь $\bigtriangleup KNM$ по формуле $S=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot NK^2$ .

Получим $\displaystyle{S=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{a}{\sqrt{3}+1})^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4+2 \cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{16+8 \cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(2- \sqrt{3})\, a^2}{8}}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}(2- \sqrt{3})\, a^2}{8}$.