Элементарная математика. Геометрия.

Задача 193

Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами $90^o$ и $60^o$ . Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно $a$ .

Решение:
Рассмотрим 2 случая расположения окружностей:

Каким образом получается 2 случая расположения окружностей можно увидеть на следующем рисунке:

1) Окружности пересекаются, и центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды.

Окружность $\varpi_1 (A,AF)$ пересекается с окружностью $\varpi_2 (C,CF)$ в точках $F$ и $E$ .

Рассмотрим $\triangle AEF : AF=AE$ (как радиусы окружности $\varpi_1$ ), $\angle FAE = 90^o, \angle EFA=45^o$ .

Рассмотрим $\triangle FCE : FC=CE$ (как радиусы окружности $\varpi_2$), $\angle FCE = 60^o \Rightarrow \triangle FCE$ равносторонний, т.е. $FE=FC=CE$.

Т.к. четырёхугольник $EAFC$ — дельтоид, то $AC$ является биссектрисой углов $\angle EAF$ и $\angle ECF$. Следовательно, $\angle CAF=45^o, \angle FCA=30^o, \angle CFA=105^o$ .

Рассмотрим треугольник $\triangle ACF$: $AC=a$ .

Для этого треугольника теорема синусов записывается следующим образом :

$\frac{AC}{\sin \angle AFC}=\frac{AF}{\sin \angle ACF}= \frac{CF}{\sin \angle CAF} = 2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $\triangle ACF$.

Отсюда имеем $AF= \frac{a \, \sin 30^o}{\sin 105^o}=\frac{a \, \sqrt{2} (\sqrt{3}-1)}{2}$ ; $CF= \frac{a \, \sin 45^o}{\sin 105^o}= a(\sqrt{3} -1)$ , где $\sin 105^o=\sin (45^o+60^o)=\sin 45^o \cos 60^o+ \sin60^o \cos 45^o = \frac{\sqrt{2}}{4} (1+ \sqrt{3})$ .

2) Окружности пересекаются, и центры окружностей расположены по одну сторону от общей хорды.

Окружность $\varpi_1 (A',AF')$ пересекается с окружностью $\varpi_2 (C',C'F')$ в точках $F'$ и $E'$.

Рассмотрим $\triangle A'E'F' : A'F'=A'E'$ (как радиусы окружности $\varpi_1$ ), $\angle F'A'E' = 90^o, \angle E'F'A'=45^o$ .

Рассмотрим $\triangle F'C'E' : F'C'=C'E'$ (как радиусы окружности $\varpi_2$ ), $\angle F'C'E' = 60^o \Rightarrow \triangle F'C'E'$ равносторонний, т.е. $F'E'=F'C'=C'E'$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A'C'F'$: $A'C'=a$ , т.к. $AC$ — биссектриса $\angle F'C'E'$, то $\angle F'C'A'=30^o; \angle C'F'A'=15^o$ , следовательно $\angle C'A'F'=135^o$ .

Для этого треугольника справедлива теорема синусов :

$\frac{A'C'}{\sin \angle A'F'C'}=\frac{A'F'}{\sin \angle A'C'F'}= \frac{C'F'}{\sin \angle C'A'F'}=2R'$ , где $R'$ - радиус описанной окружности около треугольника $\triangle A'C'F'$ .

Получим $A'F'=\frac{a \, \sin 30^o}{\sin 15^o}= \frac{a \, \sqrt{2} (\sqrt{3} -1)}{2}$ ; $C'F' =\frac{a \, \sin 135^o}{\sin 15^o} =a \, ( \sqrt{3} +1)$, где $\sin 15^o = \sin (60^o-45^o)= \sin 60^o \sin 45^o - \sin 45^o cos 60^o= \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} -1)$,

$\sin 135^o = \sin (90^o+45^o)=\cos45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$AF= \frac{a \sqrt{2} (\sqrt{3}-1)}{2}$ , $CF= a(\sqrt{3} -1)$ или $A'F'= \frac{a \sqrt{2} (\sqrt{3} +1)}{2}$ , $C'F' = a( \sqrt{3} +1)$.