Элементарная математика. Геометрия.

Задача 195

Окружности радиусов $R$ и $\frac{R}{2}$ касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка длиной $2R$, образующего с линией центров угол равный $30^{\circ}$ , совпадает с центром окружности меньшего радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обоих кругов? (Отрезок пересекает обе окружности).

Решение:

1. Для более удобной работы с обозначениями будем считать, что радиус меньшей окружности $R$, а большей — $2R$. Длина отрезка из условия тогда будет $4R$. И пусть центр бОльшей окружности — точка $O_2$, а центр меньшей — $O_1$. Отрезок же обозначим $O_1N$. Пусть $D$ — точка пересечения отрезка с меньшей окружностью, а точки $B$ и $C$ — с большей (ниже мы покажем что их будет именно две).

2. Найдем длину отрезка $O_2N$ и покажем, что точка $N$ лежит вне большей окружности. Для этого рассмотрим $\bigtriangleup O_2O_1N$.

$O_2O_1=3R$;

$O_1R=4R$;

$\angle O_2O_1N=30^{\circ}$

По теореме косинусов можно найти сторону $O_2N$:

$O_2N^2=O_2O_1^2+O_1N^2-2\cdot O_2O_1 \cdot O_1N \cdot \cos{\angle O_2O_1N}=$

$=(3\cdot R)^2+(4\cdot R)^2-2\cdot 3\cdot R \cdot 4 \cdot R \cdot \cos{30^{\circ}}=$

$=9\cdot R^2+16\cdot R^2-24\cdot R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$

$=25\cdot R^2-12\sqrt{3}\cdot R^2=R^2\cdot(25-12\sqrt{3})$.

Отсюда $O_2N=R\sqrt{25-12\sqrt{3}}$.

Теперь надо показать, что $R\sqrt{25-12\sqrt{3}}>2R$ или что $25-12\sqrt{3} > 4$:

$25-12\sqrt{3} > 4$;

$25-12\sqrt{3} > 25-21$;

$-12\sqrt{3} > -21$;

$4\sqrt{3} < 7$;

$48 < 49$.

Таким образом мы получили, что точка $N$ лежит вне большей окружности, и длина отрезка $O_2N$ равна $R\sqrt{25-12\sqrt{3}}$.

3. Рассмотрим $\bigtriangleup O_2BO_1$ и $\bigtriangleup O_2CO_1$. В них известны стороны $O_2O_1$, $O_2B$, $O_2C$ и $\angle O_2O_1B$. Найдем значения длин отрезков $O_1B$ и $O_1C$. Для этого применим теорему косинусов (в итоге получится квадратное уравнение, корни которого и будут удовлетворять искомым отрезкам). Неизвестное обозначим за $x$.

$O_2C^2=x^2+O_2O_1^2-2\cdot x\cdot O_2O_1\cdot \cos{30^{\circ}}$;

$4R^2=x^2+9R^2-2\cdot x\cdot 3\cdot R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$0=x^2+5R^2-3\sqrt{3}R\cdot x$;

$x^2-3\sqrt{3}R\cdot x+5R^2=0$;

$D=(3\sqrt{3}R)^2-4\cdot 5R^2=27R^2-20R^2=7R^2$;

$x_1=\frac{3\sqrt{3}R+\sqrt{7}R}{2}$ — значение длины большего отрезка $O_1C$;

$x_2=\frac{3\sqrt{3}R-\sqrt{7}R}{2}$ — значение длины меньшего отрезка $O_1B$.

Найдем длину отрезка $CB$:

$CB=O_1C-O_1B=\frac{3\sqrt{3}R+\sqrt{7}R}{2}-\frac{3\sqrt{3}R-\sqrt{7}R}{2}=$

$=\frac{3\sqrt{3}R}{2}+\frac{\sqrt{7}R}{2}-\frac{3\sqrt{3}R}{2}+\frac{\sqrt{7}R}{2}=$

$=\frac{\sqrt{7}R}{2}+\frac{\sqrt{7}R}{2}=\sqrt{7}R$.

Теперь найдем ответ на вопрос задачи, то есть какая часть отрезка $O_1N$ лежит вне обеих окружностей. Для этого из длины отрезка $O_1N$ вычтем длины отрезков, заключеных в окружности.

$O_1N-O_1D-BC=4R-R-\sqrt{7}R=3R-\sqrt{7}R$.

Теперь вспомним, что в начале решения мы для удобства удваивали значения радуиусов окружностей. Теперь же $R$ заменим на $\frac{R}{2}$. Тогда мы получим следующий ответ:

$O_1N-O_1D-BC=\frac{3R}{2}-\frac{\sqrt{7}R}{2}$.

Ответ: Часть отрезка, которая лежит вне обоих кругов, имеет длину $\frac{3R}{2}-\frac{\sqrt{7}R}{2}$.